Determine mathscrLf(t) das funções abaixo:
f(t)= 0 & , se 0 <= t<1 t^2-2 t+2 & , se t >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente tem uma função definida por partes:
f(t)= 0 & , se 0 <= t<1 t^2-2 t+2 & , se t >= 1
O que a gente precisa fazer é encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e a função degrau (também conhecida como função de Heaviside).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(t) usando a função degrau de Heaviside, u(t) , que é igual a 0 para t < 0 e 1 para t >= 0 . Assim, como f(t) é zero antes de t = 1 , podemos escrever:
f(t) = (t^2 - 2t + 2) cdot u(t - 1)
Aqui, u(t - 1) vai “ligar” a função t^2 - 2t + 2 a partir de t = 1 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na função f(t) :
mathscrLf(t) = mathscrL(t^2 - 2t + 2) cdot u(t - 1)
Para transformar isso, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por u(t - a) :
mathscrLf(t) cdot u(t - a) = e^-a s cdot mathscrLf(t + a)
No nosso caso, a = 1 , então temos:
mathscrL(t^2 - 2t + 2) cdot u(t - 1) = e^-s cdot mathscrL(t + 1)^2 - 2(t + 1) + 2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da transformada:
(t + 1)^2 - 2(t + 1) + 2 = t^2 + 2t + 1 - 2t - 2 + 2 = t^2 + 1
Então, a transformada fica:
mathscrLf(t) = e^-s cdot mathscrLt^2 + 1
Agora, aplicamos a linearidade da transformada de Laplace:
mathscrLt^2 + 1 = mathscrLt^2 + mathscrL1
Sabemos que:
mathscrLt^2 = 2s^3 e mathscrL1 = 1s
Portanto:
mathscrLt^2 + 1 = 2s^3 + 1s

Passo 5

Substituindo de volta na expressão principal:
mathscrLf(t) = e^-s ( 2s^3 + 1s )
Podemos deixar assim ou escrever de forma unificada:
mathscrLf(t) = e^-s(2 + s^2)s^3

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) é:
mathscrLf(t) = e^-s(2 + s^2)s^3

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