Determine
das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada de Laplace! A gente tem uma função definida por partes:
O que a gente precisa fazer é encontrar a transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções por partes e a função degrau (também conhecida como função de Heaviside).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
usando a função degrau de Heaviside,
, que é igual a 0 para
e 1 para
. Assim, como
é zero antes de
, podemos escrever:
Aqui,
vai “ligar” a função
a partir de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na função
:
Para transformar isso, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções multiplicadas por
:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da transformada:
Então, a transformada fica:
Agora, aplicamos a linearidade da transformada de Laplace:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão principal:
Podemos deixar assim ou escrever de forma unificada:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: