• Exercício 13: Resolva o sistema linear 3 times 3 abaixo utilizando o método de Gauss-Jacobi:
4x+y+z=5
2x+y+5z=8
-x+3y+z=2
  • Estude a convergência do método para este sistema.
  • Experimente diferentes condições iniciais e observe o comportamento das iterações.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
4x + y + z = 5, 2x + y + 5z = 8, -,x + 3y + z = 2
usando o método iterativo de Gauss–Jacobi, estudar se ele converge e testar diferentes condições iniciais para ver o comportamento das iterações.

Passo 2

Isolamos em cada equação a incógnita principal para obter as fórmulas de iteração de Jacobi:
x^(k+1) = 5 - y^(k) - z^(k)4, y^(k+1) = 8 - 2,x^(k) - 5,z^(k), z^(k+1) = 2 + x^(k) - 3,y^(k)

Passo 3

Em forma matricial, se x=(x,y,z)^top, escreve-se
x^(k+1) = M,x^(k) + d,
com
M = 0 & -tfrac14 & -tfrac14 -2 & 0 & -5 1 & -3 & 0 , d = 5/482

Passo 4

Para convergência de Jacobi precisamos rho(M)<1, onde rho(M) é o raio espectral. Note que o sistema não é estritamente diagonalmente dominante em todas as linhas (por exemplo 1not>2+5 na segunda linha), o que já levanta suspeita de não-convergência. Cálculos de algumas iterações mostram crescimento das componentes, indicando rho(M)>1.

Passo 5

Teste rápido com x^(0)=(0,0,0):
x^(1)=(1,25,,8,,2),
x^(2)=(-1,25,,-4,5,,-20,75),
e os valores crescem em módulo. O mesmo ocorre para outras condições iniciais, confirmando que o método diverge.

Resposta

O método de Gauss–Jacobi não converge para este sistema: as iterações divergem para qualquer condição inicial escolhida.

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