• Exercício 12: Resolva o sistema linear 3 times 3 abaixo utilizando a decomposição LU:
4 x+2 y+z=11
-x+3 y-2 z=-5
2 x-y+4 z=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
4x + 2y + z = 11, -,x + 3y - 2z = -5, 2x - y + 4z = 12
usando decomposição LU.
O método consiste em escrever a matriz dos coeficientes A como
A = LU,
onde L é triangular inferior com diagonal unitária e U é triangular superior. Depois resolvemos em dois estágios:
  1. L,y = b (substituição para frente),
  2. U,x = y (substituição para trás),
    sendo b = (11,,-5,,12)^T.

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Doolittle para obter L e U.
Definindo
A = 4 & 2 & 1 -1 & 3 & -2 2 & -1 & 4 ,
calculamos:
u11=4, u12=2, u13=1,
ell21=-1u11=-tfrac14, ell31=2u11=tfrac12,
u22=3 - ell21,u12 = 3 - l(-tfrac14r)cdot 2 = tfrac72,
u23=-2 - ell21,u13 = -2 - l(-tfrac14r)cdot1 = -tfrac74,
ell32=-1 - ell31,u12u22 = -1 - tfrac12cdot27/2 = -tfrac47,
u33=4 - ell31,u13 - ell32,u23 =4 - tfrac12cdot1 - l(-tfrac47r)cdotl(-tfrac74r) = tfrac52
Logo
L = 1 & 0 & 0 -tfrac14 & 1 & 0 tfrac12 & -tfrac47 & 1 , U = 4 & 2 & 1 0 & tfrac72 & -tfrac74 0 & 0 & tfrac52

Passo 3

Resolvemos L,y = b por substituição para frente.
y1 = 11,
y2 = -5 - ell21,y1 = -5 - l(-tfrac14r)cdot11 = -tfrac94,
y3 = 12 - ell31,y1 - ell32,y2 = 12 - tfrac12cdot11 - l(-tfrac47r)cdotl(-tfrac94r) = tfrac7314
Portanto y = l(11,,-tfrac94,,tfrac7314r)^T.

Passo 4

Resolvemos U,x = y por substituição para trás. Da terceira equação:
tfrac52,z = tfrac7314 ;Longrightarrow; z = 7314cdot25 = 7335
Da segunda equação:
tfrac72,y - tfrac74,z = -tfrac94 ;Longrightarrow; y = 7z - 914 = 7cdot7335 - 914 = 25
Da primeira equação:
4x + 2y + z = 11 ;Longrightarrow; 4x = 11 - 2cdot25 - 7335 = 28435 ;Longrightarrow; x = 284140 = 7135

Resposta

x = tfrac7135, y = tfrac25, z = tfrac7335

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