Para uma função contínua f:[a, b] R o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo O x é dado por V=integrala^b pi f(x)^2 d x. Calcule esse volume no caso das funções indicadas abaixo.
f(x)=rh x, para x in[0, h], onde h, r>0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico da função
f(x)=rh,x, xin[0,h],;h,r>0,
em torno do eixo Ox. O conteúdo é o cálculo de volume por “método dos discos”, usando a fórmula
V=integrala^bpil(f(x)r)^2,dx
Para resolver, basta montar essa integral e saber integrar um polinômio de grau 2.

Passo 2

Substituindo f(x) na fórmula de volume, temos
V=integral0^hpil(rhxr)^2,dx =pir^2h^2integral0^hx^2,dx
Como
integral0^hx^2,dx =gl[x^33gr]0^h =h^33,
segue
V=pir^2h^2cdoth^33 =pi,r^2,h3

Resposta

V=pi,r^2,h3

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