Use transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial
y^prime prime+y=t-u1(t), y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = t - u1(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
usando transformada de Laplace. O conteúdo principal é aplicação de transformada de Laplace a EDOs lineares com termos descontínuos (função degrau) e uso da propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)=Ly(t), temos
Ly'' + Ly = s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = l(s^2+1r)Y(s)
Do lado direito,
Lt - Lu1(t) = 1s^2 - e^-ss
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l(s^2+1r)Y(s) = 1s^2 - e^-ss,
Y(s) = 1s^2(s^2+1) ;-; e^-ss,(s^2+1)

Passo 3

Decompondo em frações parciais
1s^2(s^2+1) = 1s^2 ;-; 1s^2+1

Passo 4

Para o termo com e^-s:
1s,(s^2+1) = 1s ;-; ss^2+1
Então
e^-ss,(s^2+1) = e^-sl(1s - ss^2+1r)

Passo 5

Agora fazemos a inversa termo a termo:
  • L^-11/s^2 = t.
  • L^-11/(s^2+1) = sin t.
  • L^-1e^-s/s = u1(t).
  • L^-1e^-s,s/(s^2+1) = u1(t),cosl(t-1r) (teorema do deslocamento).
Somando tudo:
y(t) = l(t - sin tr) ;-; u1(t) ;+; u1(t),cosl(t-1r)

Passo 6

Escrevendo de forma piecewise, usando que u1(t)=0 para t<1 e u1(t)=1 para t>=1:
y(t) = t - sin t, & 0 <= t < 1, t - sin t ;-;1 ;+;cos(t-1), & t >= 1

Resposta

y(t)= t - sin t, & 0 <= t < 1, t - 1 - sin t + cos(t-1), & t >= 1

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