Determine se os limites abaixo existem, no caso que não, explique, no caso que sim, calcule.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}^{2}(y)}{x^{2}+2 y^{2}};

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}(y)}{x^{2}+2\,y^{2}}
Este é um problema de limite de função de duas variáveis. Vamos usar desigualdades e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para mostrar que a expressão tende a um único valor quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Observamos que, para todo (x,y)\neq(0,0), temos
x^{2}+2\,y^{2}\;\ge\;x^{2},
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0 \;\le\;\left|\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}(y)}{x^{2}+2\,y^{2}}\right| \;\le\;\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}(y)}{x^{2}} =\operatorname{sen}^{2}(y).
Além disso, como \bigl|\operatorname{sen}(y)\bigr|\le|y|, segue
\operatorname{sen}^{2}(y)\le y^{2}.
Portanto
0 \;\le\;\left|\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}(y)}{x^{2}+2\,y^{2}}\right|\;\le\;y^{2}.

Passo 3

Como \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}y^{2}=0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}\,\operatorname{sen}^{2}(y)}{x^{2}+2\,y^{2}}=0.

Resposta

0

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