Determine se as funções abaixo são contínuas em
((0,0)). Determine se a função em (c) é contínua em
(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)) :
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{y-x^{3}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:
Temos a função definida por partes
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{\,y-x^{3}\,}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
  1. Determinar se f é contínua em (0,0).
  2. Determinar se f é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão \dfrac{xy}{y-x^{3}} vale sempre que o denominador y-x^{3} for diferente de zero.
  • Em (0,0) a função foi definida com valor f(0,0)=0.
  • O ponto \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) não está explicitamente indicado como problema no enunciado, então devemos verificar se o denominador ali é zero ou não e, a partir disso, decidir sobre continuidade.]

Passo 2

Definição e método que vamos usar (explicação didática):
  • Uma função de duas variáveis f(x,y) é contínua num ponto (x_0,y_0) se e só se
    \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0).
    Ou seja, os valores de f(x,y) quando (x,y) se aproxima do ponto devem tender exatamente ao valor que a função tem naquele ponto.
  • Para limites em várias variáveis, um teste prático muito usado é: se existir pelo menos dois caminhos de aproximação ao ponto que dêem limites diferentes, então o limite total não existe. Isso porque, para o limite existir, o valor deve ser o mesmo para todas as maneiras de aproximar o ponto.
  • Também sabemos que polinômios (e produtos/somas de polinômios) são funções contínuas e que o quociente de duas funções contínuas é contínuo onde o denominador é diferente de zero. Vamos usar esse fato para responder à segunda pergunta.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Analisando a continuidade em (0,0): intenção e tentativa com caminhos simples
Queremos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{y-x^{3}} = 0
(para que a função seja contínua, esse limite teria de ser f(0,0)=0).
Primeiro experimentei caminhos simples para ver que acontece. Por exemplo, tomando y=m x (reta passando pela origem), temos
\text{se } y=m x,\quad \frac{xy}{y-x^{3}}=\frac{x\cdot (m x)}{m x - x^{3}} =\frac{m x^{2}}{x(m - x^{2})} =\frac{m x}{m - x^{2}}.
Quando x\to0 isso tende a 0 (pois numerador \sim x e denominador tende a m\neq0). Então muitas retas dão limite 0. Mas esse fato sozinho não garante o limite total; precisamos checar caminhos que possam fazer o limite diferente de 0.

Passo 4

Construindo um caminho que dá um limite diferente: curvas do tipo y=x^{3}+a x^{4}
A ideia é procurar um caminho em que o denominador y-x^{3} seja de ordem alta (pequeno) de forma a não cancelar totalmente o numerador. Considere curvas da forma
y=x^{3}+a x^{4},
com constante real a\neq 0. Essa curva tende a (0,0) quando x\to0. Substituindo em f (para (x,y)\neq(0,0)):
Calcule o numerador:
xy = x\bigl(x^{3}+a x^{4}\bigr)=x^{4}+a x^{5}.
Calcule o denominador:
y-x^{3}=(x^{3}+a x^{4})-x^{3}=a x^{4}.
Agora a razão:
\frac{xy}{y-x^{3}}=\frac{x^{4}+a x^{5}}{a x^{4}} =\frac{1+a x}{a} =\frac{1}{a}+x.
Quando x\to0 isso tende a \dfrac{1}{a}.
Observe o ponto-chave: variando a (qualquer número real diferente de zero) obtemos limites diferentes. Por exemplo:
  • Se a=1 o limite ao longo desse caminho é 1.
  • Se a=2 o limite é \tfrac{1}{2}.
  • Se a=-1 o limite é -1.
Portanto existem caminhos que aproximam (0,0) para os quais o valor de f(x,y) tende a números distintos (por exemplo 0 ao aproximar por retas y=mx e 1 ao aproximar por y=x^{3}+x^{4}).

Passo 5

Conclusão sobre (0,0) com explicação intuitiva
Como encontramos dois (na verdade infinitos) caminhos de aproximação a (0,0) que produzem limites diferentes, o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{y-x^{3}}
não existe. Logo a igualdade necessária para continuidade
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0
não ocorre. Portanto f NÃO é contínua em (0,0).
Intuição rápida: perto da origem a linha y=x^{3} faz o denominador ficar muito pequeno; aproximando-se por curvas que ficam muito próximas dessa linha (como y=x^{3}+a x^{4}), o quociente pode assumir qualquer limite \tfrac{1}{a}. Isso gera a falta de unicidade do limite.

Passo 6

Continuidade em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
Primeiro verifico se a função está bem definida ali, isto é, se o denominador é diferente de zero nesse ponto. Tome
x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Calcule o denominador:
y-x^{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}.
Calcule \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}: note que
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \qquad \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Então
y-x^{3}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}\neq 0.
Como o denominador no ponto é diferente de zero, a expressão \dfrac{xy}{y-x^{3}} é bem definida ali.
Agora uma explicação teórica simples: polinômios em (x,y) são funções contínuas; soma, produto e quociente (quando o denominador não é zero) de funções contínuas são contínuas. A função (x,y)\mapsto xy e (x,y)\mapsto y-x^{3} são contínuas e o segundo é não nulo em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), portanto o quociente é contínuo naquele ponto. Assim f é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
Se quiser, podemos também calcular o valor de f nesse ponto:
f\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} {\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}} =\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{2}} =\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Resposta

Não é contínua em (0,0).
Sim, é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) (e f\!\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}).

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