Determine se as funções abaixo são contínuas em
((0,0)). Determine se a função em (c) é contínua em
(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)) :
f(x, y)= \begin{cases}\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1} & \text { se } x^{2}+y^{2}<1 \\ 0, & \text { se } x^{2}+y^{2} \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede duas verificações de continuidade para a função definida por
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}-1}, & \text{se } x^{2}+y^{2}<1,\\[6pt] 0, & \text{se } x^{2}+y^{2}\ge 1. \end{cases}
As perguntas são:
\text{(A) } \text{A função é contínua em }(0,0)?\qquad \text{(B) } \text{A função é contínua em }\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)?çãéíçãéí
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{região interna: }U=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<1\},\qquad \text{região externa/contorno: }V=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\ge1\}.ãã
O valor de f é dado por \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}-1} em U e por 0 em V. A análise de continuidade em cada ponto deve comparar \lim_{(x,y)\to p} f(x,y) com f(p).]

Passo 2

Lembrete didático sobre continuidade em \mathbb{R}^2: uma função f é contínua em um ponto p se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to p} f(x,y)=f(p).
Isso significa que, ao aproximarmos (x,y) de p por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem se aproximar do mesmo número igual a f(p). Se houver pelo menos um caminho que dá um limite diferente (ou infinito), então f não é contínua em p.
Observação sobre as duas regiões: U é o disco aberto de raio 1 (centro na origem) e V é o complemento com a circunferência incluída. A função definida por \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}-1} é uma composição de polinômios e da função recíproca t\mapsto 1/t; essa composição é contínua em todos os pontos onde o denominador x^{2}+y^{2}-1 é diferente de zero. Para pontos em U temos x^{2}+y^{2}-1<0, logo nunca zero, portanto a expressão é bem definida e contínua em todo U. Em V a função é constante 0, que é contínua em todo V. Problema de continuidade só pode ocorrer na fronteira x^{2}+y^{2}=1, onde a definição muda de ramo.

Passo 3

Análise em (0,0).
  • Primeiro: verificar a qual ramo (0,0) pertence. Calculamos 0^{2}+0^{2}=0<1, portanto (0,0)\in U e
f(0,0)=\frac{1}{0-1}=-1.
  • Como (0,0) é um ponto interior do conjunto U (não está na fronteira), e a expressão \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}-1} é contínua em todo U, segue que f é contínua em (0,0). Outra forma de ver: se (x,y)\to(0,0) então x^{2}+y^{2}\to 0, então x^{2}+y^{2}-1\to -1 e portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{x^{2}+y^{2}-1}=\frac{1}{-1}=-1=f(0,0).
Logo a condição de continuidade \lim f=f(0,0) é satisfeita.
Explicação alternativa e intuição simples (útil na prova): como há um disco aberto centrado em (0,0) totalmente contido na região onde a fórmula da função é uma fração com denominador não nulo, não existe troca de “ramo” ao aproximar (0,0). Quando não há troca de definição e a expressão usada é contínua, a função é contínua naquele ponto. Portanto, marcamos continuidade em (0,0).

Passo 4

Análise em \displaystyle\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • Primeiro: calcular r^{2}=x^{2}+y^{2} no ponto:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1.
Portanto esse ponto está na fronteira x^{2}+y^{2}=1, e pelo enunciado f nele vale
f\!\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=0.
  • Agora vamos ver o comportamento do limite ao nos aproximarmos desse ponto. Uma maneira simples e didática é aproximar ao longo do raio que vai da origem até o ponto, isto é, tomar pontos (x,y)=t\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) com 0<t<1 e t\to 1^{-}. Para esses pontos temos
x^{2}+y^{2}=t^{2}\quad\text{(porque }(\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}+(\tfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}=1\text{)},
e, como estamos em t<1, a fórmula da função é a do primeiro ramo:
f\bigl(t(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2})\bigr)=\frac{1}{t^{2}-1}.
Quando t\to 1^{-} temos t^{2}-1\to 0^{-}, ou seja, o denominador tende a zero por valores negativos, e portanto
\frac{1}{t^{2}-1}\to -\infty.
Assim, aproximando o ponto pela inside do disco o valor de f diverge para -\infty.
  • Em contraste, se aproximarmos o ponto por pontos com x^{2}+y^{2}>1 (fora do disco), f vale identicamente 0 ali, então a aproximação vindo de fora dá limite 0. Já temos duas situações incompatíveis: pela inside o valor diverge para -\infty, pela outside o valor fica 0. Logo o limite quando (x,y)\to\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) não existe (não é finito) e, em particular, não é igual a f do ponto (que é 0).

Passo 5

Conclusão final e comentário de prova: basta encontrar uma aproximação (como o raio usado) que faça o valor tender para -\infty para concluir que não existe limite finito na fronteira; portanto a função é descontínua em qualquer ponto da circunferência x^{2}+y^{2}=1 (porque ao aproximar pelo interior os valores da fração divergem). Isso responde a (B).

Resposta

A função é contínua em (0,0).
A função não é contínua em \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).

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