Determine todas as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
f(x, y)=x^{4} y^{2}-x^{3} y

Passo 1

O enunciado pede: “Determine todas as derivadas de segunda ordem” da função dada.
A função fornecida é
f(x,y)=x^{4}y^{2}-x^{3}y.
O que exatamente precisamos encontrar são as quatro derivadas parciais de segunda ordem:
f_{xx},\quad f_{xy},\quad f_{yx},\quad f_{yy}.
Aqui anotei tudo o que o enunciado dá (a expressão de f) e o que ele pede (as quatro derivadas de segunda ordem).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \partial f/\partial x ou f_x, é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo.
  • Similarmente, f_y=\partial f/\partial y mede a variação quando só y varia.
Regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Regra do poder (power rule): se temos g(t)=t^n, então g'(t)=n t^{n-1}. Aqui usamos quando a variável que estamos derivando aparece em potência.
  • Regra do produto (product rule) em derivadas parciais: se h(x,y)=u(x,y)\cdot v(x,y) e derivamos em relação a x, então
\frac{\partial h}{\partial x}=u_x v + u v_x,
mas com polinômios simples onde um fator não depende da variável com respeito à qual derivamos, isso reduz a “fatorar” o que é constante. Por exemplo, ao derivar x^4 y^2 em relação a x, tratamos y^2 como constante e apenas aplicamos a regra do poder em x^4.
Vou aplicar essas regras passo a passo para achar as primeiras derivadas e, em seguida, as segundas.

Passo 3

Calcular a derivada parcial \,f_x=\partial f/\partial x (derivar em relação a x mantendo y fixo).
A função é f(x,y)=x^{4}y^{2}-x^{3}y. Trato y como constante.
  • Para o termo x^{4}y^{2}: y^{2} é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{4}y^{2}\big)=y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{4})=y^{2}\cdot 4x^{3}=4x^{3}y^{2}.
  • Para o termo -x^{3}y: y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(-x^{3}y\big)=y\cdot\frac{d}{dx}(-x^{3})=y\cdot(-3x^{2})=-3x^{2}y.
Somando os dois resultados,
f_x(x,y)=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial \,f_y=\partial f/\partial y (derivar em relação a y mantendo x fixo).
A função é f(x,y)=x^{4}y^{2}-x^{3}y. Trato x como constante.
  • Para x^{4}y^{2}: x^{4} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{4}y^{2}\big)=x^{4}\cdot\frac{d}{dy}(y^{2})=x^{4}\cdot 2y=2x^{4}y.
  • Para -x^{3}y: x^{3} é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}\big(-x^{3}y\big)= -x^{3}\cdot\frac{d}{dy}(y) = -x^{3}.
Somando,
f_y(x,y)=2x^{4}y - x^{3}.

Passo 5

O que são derivadas de segunda ordem?
  • São derivadas das derivadas: por exemplo f_{xx}=\partial(\partial f/\partial x)/\partial x, f_{xy}=\partial(\partial f/\partial x)/\partial y, etc.
  • Uma observação útil: quando as derivadas segundas são contínuas (caso de polinômios, que são suaves), os derivados mistos coincidem: f_{xy}=f_{yx} (teorema de Clairaut). Aqui f é polinomial, então esperamos f_{xy}=f_{yx}. Vou calcular ambos para confirmar.

Passo 6

Calcular f_{xx}=\partial^2 f/\partial x^2.
Partimos de f_x(x,y)=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y. Derivamos novamente em relação a x, tratando y como constante.
  • Para 4x^{3}y^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}(4x^{3}y^{2})=4y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{3})=4y^{2}\cdot 3x^{2}=12x^{2}y^{2}.
  • Para -3x^{2}y:
\frac{\partial}{\partial x}(-3x^{2}y)=-3y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=-3y\cdot 2x=-6xy.
Somando,
f_{xx}(x,y)=12x^{2}y^{2}-6xy.

Passo 7

Calcular f_{yy}=\partial^2 f/\partial y^2.
Partimos de f_y(x,y)=2x^{4}y - x^{3}. Derivamos em relação a y, tratando x como constante.
  • Para 2x^{4}y:
\frac{\partial}{\partial y}(2x^{4}y)=2x^{4}\cdot\frac{d}{dy}(y)=2x^{4}.
  • Para -x^{3}: é constante em relação a y, então a derivada é 0.
Logo,
f_{yy}(x,y)=2x^{4}.

Passo 8

Calcular f_{xy}=\partial^2 f/\partial y\partial x (derivar f_x em relação a y).
Partimos de f_x(x,y)=4x^{3}y^{2}-3x^{2}y. Agora derivamos em relação a y, tratando x como constante.
  • Para 4x^{3}y^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}(4x^{3}y^{2})=4x^{3}\cdot\frac{d}{dy}(y^{2})=4x^{3}\cdot 2y=8x^{3}y.
  • Para -3x^{2}y:
\frac{\partial}{\partial y}(-3x^{2}y)=-3x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=-3x^{2}.
Somando,
f_{xy}(x,y)=8x^{3}y - 3x^{2}.

Passo 9

Calcular f_{yx}=\partial^2 f/\partial x\partial y (derivar f_y em relação a x) e verificar igualdade com f_{xy}.
Partimos de f_y(x,y)=2x^{4}y - x^{3}. Derivando em relação a x, tratando y como constante:
  • Para 2x^{4}y:
\frac{\partial}{\partial x}(2x^{4}y)=2y\cdot\frac{d}{dx}(x^{4})=2y\cdot 4x^{3}=8x^{3}y.
  • Para -x^{3}:
\frac{\partial}{\partial x}(-x^{3})=-3x^{2}.
Somando,
f_{yx}(x,y)=8x^{3}y - 3x^{2}.
Como esperado, f_{xy}=f_{yx}. Isso confirma o teorema de igualdade dos mistos no nosso caso (polinomial, suave).

Resposta

f_{xx}(x,y)=12x^{2}y^{2}-6xy
f_{xy}(x,y)=8x^{3}y-3x^{2}
f_{yx}(x,y)=8x^{3}y-3x^{2}
f_{yy}(x,y)=2x^{4}

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