Determine todas as derivadas de segunda ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: “Determine todas as derivadas de segunda ordem” da função dada.
A função fornecida é
A função fornecida é
O que exatamente precisamos encontrar são as quatro derivadas parciais de segunda ordem:
Aqui anotei tudo o que o enunciado dá (a expressão de
) e o que ele pede (as quatro derivadas de segunda ordem).
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , escrita ou , é a taxa de variação de quando só varia e fica fixo. - Similarmente,
mede a variação quando só varia.
Regras que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra do poder (power rule): se temos
, então . Aqui usamos quando a variável que estamos derivando aparece em potência. - Regra do produto (product rule) em derivadas parciais: se
e derivamos em relação a , então
mas com polinômios simples onde um fator não depende da variável com respeito à qual derivamos, isso reduz a “fatorar” o que é constante. Por exemplo, ao derivar
em relação a
, tratamos
como constante e apenas aplicamos a regra do poder em
.
Vou aplicar essas regras passo a passo para achar as primeiras derivadas e, em seguida, as segundas.
Passo 3
Calcular a derivada parcial
(derivar em relação a
mantendo
fixo).
A função é
. Trato
como constante.
- Para o termo
: é constante, então
- Para o termo
: é constante, então
Somando os dois resultados,
Passo 4
Calcular a derivada parcial
(derivar em relação a
mantendo
fixo).
A função é
. Trato
como constante.
- Para
: é constante, então
- Para
: é constante, então
Somando,
Passo 5
O que são derivadas de segunda ordem?
- São derivadas das derivadas: por exemplo
, , etc. - Uma observação útil: quando as derivadas segundas são contínuas (caso de polinômios, que são suaves), os derivados mistos coincidem:
(teorema de Clairaut). Aqui é polinomial, então esperamos . Vou calcular ambos para confirmar.
Passo 6
Calcular
.
Partimos de
. Derivamos novamente em relação a
, tratando
como constante.
- Para
:
- Para
:
Somando,
Passo 7
Calcular
.
Partimos de
. Derivamos em relação a
, tratando
como constante.
- Para
:
- Para
: é constante em relação a , então a derivada é .
Logo,
Passo 8
Calcular
(derivar
em relação a
).
Partimos de
. Agora derivamos em relação a
, tratando
como constante.
- Para
:
- Para
:
Somando,
Passo 9
Calcular
(derivar
em relação a
) e verificar igualdade com
.
Partimos de
. Derivando em relação a
, tratando
como constante:
- Para
:
- Para
:
Somando,
Como esperado,
. Isso confirma o teorema de igualdade dos mistos no nosso caso (polinomial, suave).