Determine se as funções abaixo são injetivas, justificando suas afirmações:
f: R^2 R, f(x, y)=2 x-y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f: R^2 R, definida por f(x,y) = 2x - y^2, é injetiva. O conteúdo é injeção de funções e vamos usar a definição formal para testar.

Passo 2

Uma função f é injetiva se, sempre que f(a1)=f(a2), isso implica a1=a2. Aqui isso significa que não podem existir pares (x1,y1)neq(x2,y2) tais que f(x1,y1)=f(x2,y2).

Passo 3

Observe que f(x,y)=2x - y^2 depende de y^2, logo f(x,y)=2x - y^2=2x - (-y)^2=f(x,-y). Isso mostra que, sempre que yneq0, os pares (x,y) e (x,-y) têm a mesma imagem, apesar de serem diferentes.

Passo 4

Por exemplo, tomando (0,1) e (0,-1) temos
f(0,1)=2cdot0 - 1^2=-1 e
f(0,-1)=2cdot0 - (-1)^2=-1, mas (0,1)neq(0,-1). Isso basta para concluir que f não é injetiva.

Resposta

A função f não é injetiva, pois existem pares distintos (x,y) e (x,-y) que mapeiam para o mesmo valor.

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