Determine se as funções abaixo são pares ou impares
f(x)=x^{7}+\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função f é par ou ímpar. A função dada é
f(x)=x^{7}+\operatorname{sen} x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é a soma de duas partes: x^{7} e \operatorname{sen} x.
  • Precisa-se decidir se f satisfaz a condição de função par ou ímpar (ou nenhuma das duas).

Passo 2

Definições importantes (muito úteis na prova — decora assim, simples):
  • Uma função F é par se, para todo x no domínio, \;F(-x)=F(x). Geometricamente: simetria em relação ao eixo y.
  • Uma função F é ímpar se, para todo x no domínio, \;F(-x)=-F(x). Geometricamente: simetria em relação à origem.
Vou usar essas definições direto na função f. Se eu conseguir mostrar \;f(-x)=f(x) então é par; se mostrar \;f(-x)=-f(x) então é ímpar; se não for nenhuma das duas igualdades, é nenhuma.

Passo 3

Analisar a primeira parte \;g(x)=x^{7}.
  • Calcule \;g(-x):
g(-x)=(-x)^{7}.
  • Potência de expoente ímpar: (-x)^{7}=-x^{7}. Logo
g(-x)=-x^{7}=-g(x).
Conclusão: \;x^{7} é uma função ímpar (porque satisfaz g(-x)=-g(x)).

Passo 4

Analisar a segunda parte \;h(x)=\operatorname{sen} x.
  • Identidade trigonométrica fundamental: \;\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x.
  • Assim,
h(-x)=\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x=-h(x).
Conclusão: \;\operatorname{sen} x é uma função ímpar.

Passo 5

Usar propriedade sobre soma de funções:
  • Se duas funções u e v são ímpares, então a soma u+v também é ímpar. Demonstração rápida: (u+v)(-x)=u(-x)+v(-x)=-u(x)-v(x)=-(u(x)+v(x)).
    Aplicando isso aqui, como x^{7} e \operatorname{sen} x são ímpares, a soma é ímpar.

Passo 6

Fazer o cálculo direto para fechar sem dúvida:
f(-x)=(-x)^{7}+\operatorname{sen}(-x)=-x^{7}-\operatorname{sen} x=-(x^{7}+\operatorname{sen} x)=-f(x).
Isso mostra explicitamente que f(-x)=-f(x) para todo x no domínio.

Resposta

A função f(x)=x^{7}+\operatorname{sen} x é ímpar.

Exercícios relacionados