Determine se as funções abaixo são pares ou impares
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é par ou ímpar. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é a soma de duas partes:
e . - Precisa-se decidir se
satisfaz a condição de função par ou ímpar (ou nenhuma das duas).
Passo 2
Definições importantes (muito úteis na prova — decora assim, simples):
- Uma função
é par se, para todo no domínio, . Geometricamente: simetria em relação ao eixo . - Uma função
é ímpar se, para todo no domínio, . Geometricamente: simetria em relação à origem.
Vou usar essas definições direto na função
. Se eu conseguir mostrar
então é par; se mostrar
então é ímpar; se não for nenhuma das duas igualdades, é nenhuma.
Passo 3
Analisar a primeira parte
.
- Calcule
:
- Potência de expoente ímpar:
. Logo
Conclusão:
é uma função ímpar (porque satisfaz
).
Passo 4
Analisar a segunda parte
.
- Identidade trigonométrica fundamental:
. - Assim,
Conclusão:
é uma função ímpar.
Passo 5
Usar propriedade sobre soma de funções:
- Se duas funções
e são ímpares, então a soma também é ímpar. Demonstração rápida: .
Aplicando isso aqui, comoe são ímpares, a soma é ímpar.
Passo 6
Fazer o cálculo direto para fechar sem dúvida:
Isso mostra explicitamente que
para todo
no domínio.
Resposta
A função
é ímpar.