Utilize o critério de comparação para mostrar que a série
converge. Sugestão: Use a série
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a série
converge. Para isso, vamos usar o Critério de Comparação, que é uma técnica para analisar a convergência de séries comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar comparar com a série sugerida:
.
Passo 2
Primeiro, observe que podemos reescrever a série que queremos analisar da seguinte forma:
Percebemos que, para todo
, o termo
no denominador é bem menor comparado a
. Então, podemos dizer que:
Passo 3
Com isso, podemos relacionar as duas frações:
Essa desigualdade mostra que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série de comparação
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a série de comparação
. Podemos simplificar os termos:
Essa é uma progressão geométrica com razão
. Sabemos que uma progressão geométrica converge se a razão
, o que é o caso aqui, já que
. Portanto, a série
converge.
Passo 5
Como cada termo da série original
é menor ou igual ao termo correspondente da série de comparação que converge, pelo Critério da Comparação, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.