Utilize o critério de comparação para mostrar que a série sumk=1^+infty 2^k1+3^k converge. Sugestão: Use a série sumk=1^+infty 2^k3^k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a série sumk=1^+infty 2^k1+3^k converge. Para isso, vamos usar o Critério de Comparação, que é uma técnica para analisar a convergência de séries comparando-a com outra série que já sabemos se converge ou diverge. Vamos precisar comparar com a série sugerida: sumk=1^+infty 2^k3^k.

Passo 2

Primeiro, observe que podemos reescrever a série que queremos analisar da seguinte forma:
2^k1 + 3^k
Percebemos que, para todo k >= 1, o termo 1 no denominador é bem menor comparado a 3^k. Então, podemos dizer que:
1 + 3^k >= 3^k

Passo 3

Com isso, podemos relacionar as duas frações:
2^k1 + 3^k <= 2^k3^k
Essa desigualdade mostra que cada termo da nossa série original é menor ou igual ao termo correspondente da série de comparação sumk=1^+infty 2^k3^k.

Passo 4

Agora, vamos analisar a série de comparação sumk=1^+infty 2^k3^k. Podemos simplificar os termos:
2^k3^k = (23)^k
Essa é uma progressão geométrica com razão r = 23. Sabemos que uma progressão geométrica converge se a razão |r| < 1, o que é o caso aqui, já que 23 < 1. Portanto, a série sumk=1^+infty (23)^k converge.

Passo 5

Como cada termo da série original 2^k1 + 3^k é menor ou igual ao termo correspondente da série de comparação que converge, pelo Critério da Comparação, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série sumk=1^+infty 2^k1+3^k converge.

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