Investigue a convergência das séries utilizando o critério da razão(teste) da razão.
Passo 1
Beleza, vamos investigar se a série converge ou não. Para isso, vamos usar o critério da razão, que é uma ferramenta da análise de séries infinitas. Precisamos entender como os termos da série se comportam quando a gente aumenta .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como funciona o critério da razão. Ele diz que, para uma série , se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Então, vamos calcular esse limite para a nossa série.
Passo 3
Vamos definir an = 4^n n! n!(2n)!.
Agora, calculamos an+1an:
an+1an = 4^n+1 (n+1)! (n+1)!(2(n+1))! times (2n)!4^n n! n!
Simplificando:
an+1an = 4 times (n+1)^2 times (2n)!(2n+2)(2n+1)(2n)! = 4 times (n+1)^2(2n+2)(2n+1)
Como o limite é igual a 1, o critério da razão não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência da série. Isso significa que precisamos usar outro método para investigar a convergência.
No entanto, podemos observar que os termos da série 4^n n! n!(2n)! estão relacionados aos números de Catalan e a termos que crescem muito rapidamente, sugerindo que a série diverge.