Investigue a convergência das séries utilizando o critério da razão(teste) da razão.
sumk=1^+infty 4^n n!n!(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos investigar se a série sumn=1^+infty 4^n n! n!(2n)! converge ou não. Para isso, vamos usar o critério da razão, que é uma ferramenta da análise de séries infinitas. Precisamos entender como os termos da série se comportam quando a gente aumenta n.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como funciona o critério da razão. Ele diz que, para uma série sum an, se o limite limn to infty | an+1an | for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Então, vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 3

Vamos definir an = 4^n n! n!(2n)!.
Agora, calculamos an+1an:
an+1an = 4^n+1 (n+1)! (n+1)!(2(n+1))! times (2n)!4^n n! n!
Simplificando:
an+1an = 4 times (n+1)^2 times (2n)!(2n+2)(2n+1)(2n)! = 4 times (n+1)^2(2n+2)(2n+1)
Simplificando mais:
an+1an = 4 times (n+1)^24n^2 + 6n + 2 = 4(n+1)^24n^2 + 6n + 2
Agora, vamos calcular o limite desse termo quando n tende ao infinito:
limn to infty 4(n+1)^24n^2 + 6n + 2 = limn to infty 4(n^2 + 2n + 1)4n^2 + 6n + 2
Dividindo numerador e denominador por n^2:
limn to infty 4(1 + 2n + 1n^2)4 + 6n + 2n^2 = 4(1 + 0 + 0)4 + 0 + 0 = 44 = 1

Passo 4

Como o limite é igual a 1, o critério da razão não nos dá uma resposta definitiva sobre a convergência da série. Isso significa que precisamos usar outro método para investigar a convergência.
No entanto, podemos observar que os termos da série 4^n n! n!(2n)! estão relacionados aos números de Catalan e a termos que crescem muito rapidamente, sugerindo que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty 4^n n! n!(2n)! diverge.

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