Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear e a identidade trigonométrica de ângulo duplo.
Passo 2
Lembrando a definição: duas funções
e
são linearmente independentes se a única solução do sistema
é
e
. Caso exista um par
que satisfaça essa igualdade para todo
, são dependentes.
Passo 3
Usamos a identidade de ângulo duplo para reescrever
Passo 4
Suponha que exista
tal que
Substituindo a identidade, obtemos
isto é,
Passo 5
A função zero (identicamente nula) não tem parte constante, nem componente em
ou
. Como
,
e
são três funções linearmente independentes (frequências distintas), cada coeficiente deve ser zero:
e então
Logo, a única combinação que anula as funções é a trivial.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.