Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes
y1=cos (2 x) y2=cos ^2(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
y1(x)=cos(2x), y2(x)=cos^2(2x)
são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear e a identidade trigonométrica de ângulo duplo.

Passo 2

Lembrando a definição: duas funções y1 e y2 são linearmente independentes se a única solução do sistema
a,y1(x)+b,y2(x)=0 para todo (x)
é a=0 e b=0. Caso exista um par (a,b)neq(0,0) que satisfaça essa igualdade para todo x, são dependentes.

Passo 3

Usamos a identidade de ângulo duplo para reescrever
cos^2(2x) =1+cos(4x)2

Passo 4

Suponha que exista (a,b) tal que
a,cos(2x)+b,cos^2(2x)=0 forall x
Substituindo a identidade, obtemos
a,cos(2x) + b, 1+cos(4x)2 =0 forall x,
isto é,
b2 + a,cos(2x) + b2,cos(4x) =0 forall x

Passo 5

A função zero (identicamente nula) não tem parte constante, nem componente em cos(2x) ou cos(4x). Como 1, cos(2x) e cos(4x) são três funções linearmente independentes (frequências distintas), cada coeficiente deve ser zero:
b2=0 Longrightarrow b=0,
e então
a=0
Logo, a única combinação que anula as funções é a trivial.

Resposta

As funções y1(x)=cos(2x) e y2(x)=cos^2(2x) são linearmente independentes.

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