Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes
y1=x y2=x^2

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções em x, a saber ,y1=x e ,y2=x^2, e pede para verificar se elas são linearmente independentes ou dependentes. Vamos usar a definição de independência linear de funções: uma combinação linear trivial é a única que anula todas as funções simultaneamente.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero para todo x:
c1,y1(x)+c2,y2(x)=0 Longrightarrow c1,x + c2,x^2=0 forall x

Passo 3

O lado esquerdo é um polinômio em x que deve ser identicamente zero. Um polinômio é nulo para todo x somente se todos os seus coeficientes forem zero. Aqui o coeficiente de x^2 é c2 e o de x é c1. Logo,
c2=0 e c1=0
Como só existe a solução trivial (c1,c2)=(0,0), concluímos que não há dependência linear entre as funções.

Resposta

As funções y1=x e y2=x^2 são linearmente independentes.

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