Sendo f(x)=raiz[5]x, calcule a área da região compreendida entre o gráfico de f, 0 eixo x e as retas x=-1 e x=0

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo gráfico de f(x)=raiz[5]x=x^1/5, pelo eixo x e pelas retas verticais x=-1 e x=0. Como x^1/5<0 em todo o intervalo [-1,0), a integral de f dá valor negativo, e a área pedida será o seu valor absoluto.

Passo 2

Para funções abaixo do eixo x, a área entre o gráfico e o eixo é
Área=-integral-1^0f(x),dx Á
Portanto, temos
Área=-integral-1^0x^1/5,dx Á

Passo 3

Calcular a antiderivada de x^1/5. Usamos
integral x^1/5,dx =x^(1/5)+1(1/5)+1+C =x^6/56/5+C =56,x^6/5+C

Passo 4

Avaliar a integral definida:
integral-1^0x^1/5,dx =l[tfrac56,x^6/5r]-1^0 =56l(0^6/5-(-1)^6/5r) =56l(0-1r) =-56

Passo 5

Como a integral deu -tfrac56, a área (valor positivo) é
Área =-l(-tfrac56r) =56 Á

Resposta

56

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