Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes
y1=e^x y2=ln (x^2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
y1(x)=e^x
e
y2(x)=lnl(x^2r)
são linearmente independentes ou dependentes em seu domínio natural ( xneq0). Vamos usar o critério do Wronskiano, que é uma ferramenta padrão em EDOs para testar independência linear de duas funções.

Passo 2

Lembrando que duas funções y1 e y2 são linearmente independentes se não existe constante não trivial c1,c2, não ambos zero, tal que
c1,y1(x) + c2,y2(x)equiv0
O critério do Wronskiano diz que, se
W(y1,y2)(x) = y1(x) & y2(x)[6pt] y1'(x) & y2'(x)
não é identicamente zero no intervalo considerado, então y1 e y2 são linearmente independentes.]

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada função:
y1'(x)=ddxe^x=e^x,
y2(x)=lnl(x^2r)=2ln|x|, y2'(x)=ddxl(2ln|x|r)=2x

Passo 4

Agora montamos o Wronskiano:
W(y1,y2)(x) = e^x & 2ln|x|[6pt] e^x & tfrac2x =e^xcdot2x-2ln|x|cdot e^x =2e^xl(1x-ln|x|r)
Esse determinante não é identicamente zero em nenhum intervalo que não inclua pontos onde xto0. Ele só se anula pontualmente quando 1x=ln|x|, mas não de forma constante em um intervalo.]

Passo 5

Como o Wronskiano W(y1,y2)(x) não é igual a zero de modo identicamente constante em um intervalo, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes.

Resposta

As funções y1=e^x e y2=ln(x^2) são linearmente independentes.

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