Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
e
são linearmente independentes ou dependentes em seu domínio natural (). Vamos usar o critério do Wronskiano, que é uma ferramenta padrão em EDOs para testar independência linear de duas funções.
Passo 2
Lembrando que duas funções e são linearmente independentes se não existe constante não trivial , não ambos zero, tal que
O critério do Wronskiano diz que, se
não é identicamente zero no intervalo considerado, então y1 e y2 são linearmente independentes.]
Esse determinante não é identicamente zero em nenhum intervalo que não inclua pontos onde xto0. Ele só se anula pontualmente quando 1x=ln|x|, mas não de forma constante em um intervalo.]
Passo 5
Como o Wronskiano W(y1,y2)(x) não é igual a zero de modo identicamente constante em um intervalo, concluímos que y1 e y2 são linearmente independentes.
Resposta
As funções y1=e^x e y2=ln(x^2) são linearmente independentes.