Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes
Passo 1
O enunciado dá três funções
,
e
e pede para determinar se elas são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo usado aqui é o de combinação linear de funções e teste de independência via coeficientes.
Passo 2
Suponha uma combinação linear genérica que se anule identicamente:
Substituindo as expressões:
Passo 3
Agrupando termos semelhantes em potências de
obtemos
Passo 4
Para que isso valha para todo
Esse sistema tem solução não trivial (por exemplo ,
). Isso mostra que existe combinação linear não trivial que anula as funções.
Passo 5
Como existe escolha de
tal que a combinação some zero, concluímos que as funções são linearmente dependentes. De fato,
Resposta
As funções são linearmente dependentes.