Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes
y1=x y2=x^2 y3=4 x-3 x^2

Passo 1

O enunciado dá três funções ,y1(x)=x, ,y2(x)=x^2 e ,y3(x)=4x-3x^2 e pede para determinar se elas são linearmente independentes ou dependentes. O conteúdo usado aqui é o de combinação linear de funções e teste de independência via coeficientes.

Passo 2

Suponha uma combinação linear genérica que se anule identicamente:
c1y1(x)+c2y2(x)+c3y3(x)=0,para todo x
Substituindo as expressões:
c1x + c2x^2 + c3(4x - 3x^2) = 0

Passo 3

Agrupando termos semelhantes em potências de x obtemos
(c1 + 4c3),x + (c2 - 3c3),x^2 = 0,forall x

Passo 4

Para que isso valha para todo
Esse sistema tem solução não trivial (por exemplo , ). Isso mostra que existe combinação linear não trivial que anula as funções.

Passo 5

Como existe escolha de (c1,c2,c3)neq(0,0,0) tal que a combinação some zero, concluímos que as funções são linearmente dependentes. De fato,
y3(x)=4,y1(x);-;3,y2(x)

Resposta

As funções são linearmente dependentes.

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