Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em (-infty, infty).
a) f1(x)=x, f2(x)=x^2, f3(x)=4 x-3 x^2
b) f1(x)=5, f2(x)=cos ^2 x, f3(x)=sen^2 x
c) f1(x)=x, f2(x)=x-1, f3(x)=x+3
d) f1(x)=1+x, f2(x)=x, f3(x)=x^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo (-infty, infty). O conteúdo envolve combinação linear de funções e independência linear. Para resolver, vamos verificar se existe uma combinação não trivial das funções que resulte na função zero em todo o intervalo.

Passo 2

Vamos analisar a alínea a):
f1(x) = x, f2(x) = x^2, f3(x) = 4x - 3x^2

Passo 3

Para verificar a independência linear, precisamos encontrar constantes c1, c2, c3 tais que:
c1 f1(x) + c2 f2(x) + c3 f3(x) = 0 para todo x

Passo 4

Substituindo as funções na equação:
c1 x + c2 x^2 + c3 (4x - 3x^2) = 0

Passo 5

Simplificando a expressão:
(c1 + 4c3) x + (c2 - 3c3) x^2 = 0

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes de x e x^2 devem ser iguais a zero:
c1 + 4c3 = 0 c2 - 3c3 = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: c1 = -4c3
  • Da segunda equação: c2 = 3c3

Passo 8

Isso significa que existe uma solução não trivial (com c3 neq 0) para os coeficientes, indicando que as funções são linearmente dependentes.

Passo 9

Agora, vamos analisar a alínea b):
f1(x) = 5, f2(x) = cos^2x, f3(x) = sin^2x

Passo 10

Para verificar a independência linear, buscamos constantes c1, c2, c3 tais que:
c1 cdot 5 + c2 cos^2x + c3 sin^2x = 0 para todo x

Passo 11

Sabemos que cos^2x + sin^2x = 1, então podemos substituir:
c1 cdot 5 + c2 (1 - sin^2x) + c3 sin^2x = 0

Passo 12

Simplificando:
5c1 + c2 + (c3 - c2) sin^2x = 0

Passo 13

Para que a igualdade seja válida para todo x, os coeficientes devem ser zero:
5c1 + c2 = 0 c3 - c2 = 0

Passo 14

Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação: c3 = c2
  • Da primeira equação: c2 = -5c1

Passo 15

Substituindo na segunda equação:
c3 = -5c1
Isso mostra que existem soluções não triviais para os coeficientes, indicando dependência linear.

Passo 16

Vamos agora para a alínea c):
f1(x) = x, f2(x) = x - 1, f3(x) = x + 3

Passo 17

Para verificar a independência linear, buscamos constantes c1, c2, c3 tais que:
c1 x + c2 (x - 1) + c3 (x + 3) = 0 para todo x

Passo 18

Expandindo a expressão:
c1 x + c2 x - c2 + c3 x + 3c3 = 0

Passo 19

Agrupando os termos semelhantes:
(c1 + c2 + c3) x + (-c2 + 3c3) = 0

Passo 20

Para que a igualdade seja válida para todo x, os coeficientes devem ser zero:
c1 + c2 + c3 = 0 -c2 + 3c3 = 0

Passo 21

Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação: c2 = 3c3
  • Substituindo na primeira equação: c1 + 3c3 + c3 = 0 Rightarrow c1 + 4c3 = 0 Rightarrow c1 = -4c3

Passo 22

Isso mostra que existem soluções não triviais (com c3 neq 0), indicando dependência linear.

Passo 23

Por fim, vamos analisar a alínea d):
f1(x) = 1 + x, f2(x) = x, f3(x) = x^2

Passo 24

Para verificar a independência linear, buscamos constantes c1, c2, c3 tais que:
c1 (1 + x) + c2 x + c3 x^2 = 0 para todo x

Passo 25

Expandindo a expressão:
c1 + c1 x + c2 x + c3 x^2 = 0

Passo 26

Agrupando os termos semelhantes:
c3 x^2 + (c1 + c2) x + c1 = 0

Passo 27

Para que a igualdade seja válida para todo x, os coeficientes devem ser zero:
c3 = 0 c1 + c2 = 0 c1 = 0

Passo 28

Da terceira equação, temos c1 = 0. Substituindo na segunda equação: 0 + c2 = 0 Rightarrow c2 = 0. E já sabemos que c3 = 0.

Passo 29

A única solução é trivial ( c1 = c2 = c3 = 0), indicando que as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções da alínea d) são linearmente independentes no intervalo (-infty, infty).

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