Determine se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes em .
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes no intervalo . O conteúdo envolve combinação linear de funções e independência linear. Para resolver, vamos verificar se existe uma combinação não trivial das funções que resulte na função zero em todo o intervalo.
Passo 2
Vamos analisar a alínea a):
Passo 3
Para verificar a independência linear, precisamos encontrar constantes , , tais que:
Passo 4
Substituindo as funções na equação:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais a zero:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 8
Isso significa que existe uma solução não trivial (com ) para os coeficientes, indicando que as funções são linearmente dependentes.
Passo 9
Agora, vamos analisar a alínea b):
Passo 10
Para verificar a independência linear, buscamos constantes , , tais que:
Passo 11
Sabemos que , então podemos substituir:
Passo 12
Simplificando:
Passo 13
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser zero:
Passo 14
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Passo 15
Substituindo na segunda equação:
Isso mostra que existem soluções não triviais para os coeficientes, indicando dependência linear.
Passo 16
Vamos agora para a alínea c):
Passo 17
Para verificar a independência linear, buscamos constantes , , tais que:
Passo 18
Expandindo a expressão:
Passo 19
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 20
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes devem ser zero: