Encontre o sinal correspondente às seguintes transformadas de Fourier.
X(omega)=19+omega^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o sinal de tempo x(t) cuja transformada de Fourier (definida por X(omega)=integral-infty^inftyx(t)e^-jomega tdt) é
X(omega)=19+omega^2
O conteúdo aqui é usar a transformada inversa de Fourier, aproveitando pares conhecidos envolvendo exponenciais com valor absoluto.

Passo 2

Sabemos o par de transformadas
integral-infty^inftye^-a|t|,e^-jomega t,dt ;=;2aa^2+omega^2,
para a>0. Isso vem de quebrar a integral em t>=0 e t<0 e reconhecer integrais de exponencial.

Passo 3

Queremos o caso em que
2aa^2+omega^2
seja igual a
X(omega)=19+omega^2
Comparando a^2+omega^2=9+omega^2 a=3, e precisamos de um fator tfrac16 para ajustar 2a=6 a 1. Ou seja,
19+omega^2 =2cdot39+omega^2;cdot16 =2aa^2+omega^2;cdot16

Passo 4

Pela linearidade da transformada inversa, multiplicar X(omega) por tfrac16 no domínio de omega corresponde a multiplicar x(t) por tfrac16 no domínio de t. Logo, como
integral-infty^inftye^-3|t|e^-jomega tdt = 69+omega^2,
temos
x(t)=16,e^-3|t|

Resposta

x(t)=16,e^-3|t|

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