Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
lim x -infty f(x)=-1, lim x 0^- f(x)=infty, lim x 0^+ f(x)=-infty,
lim x 3^- f(x)=1, f(3)=4, lim x 3^+ f(x)=4, lim x infty f(x)=1

Passo 1

O enunciado pede um esboço de função f que tenha
– assíntota horizontal em y=-1 quando xto-infty,
– assíntota vertical em x=0 com limxto0^-f(x)=+infty e limxto0^+f(x)=-infty,
– salto em x=3 com limxto3^-f(x)=1, f(3)=4 e limxto3^+f(x)=4,
– assíntota horizontal em y=1 quando xto+infty.
O conteúdo é limites, assíntotas e descontinuidade de salto.

Passo 2

Para o ramo x<0 definimos
f(x) = -1 - 1x
Então
limxto-inftyf(x) = -1 (assíntota horizontal y=-1) e
limxto0^-f(x) = -1 - 10^- = +infty (assíntota vertical x=0).

Passo 3

Para 0<x<3 escolhemos
f(x) = 2 - 3x
Assim
limxto0^+f(x) = 2 - 30^+ = -infty (assíntota vertical em x=0 pela direita) e
limxto3^-f(x) = 2 - 33 = 1.

Passo 4

Em x=3 colocamos o ponto isolado
f(3)=4
Para x>3 definimos
f(x) = 1 + 9x
Então
limxto3^+f(x) = 1 + 93 = 4 (conecta com o ponto f(3)) e
limxto+inftyf(x) = 1 (assíntota horizontal y=1).

Resposta

Um esboço do gráfico é obtido por:
  • Ramo x<0: curva de f(x)=-1-tfrac1x, aproximando-se de y=-1 à esquerda e disparando para +infty em x=0^-.
  • Ramo 0<x<3: curva de f(x)=2-tfrac3x, caindo para -infty em x=0^+ e subindo até y=1 em x=3^-.
  • Em x=3: ponto isolado (3,4).
  • Ramo x>3: curva de f(x)=1+tfrac9x, saindo de (3,4) e decrescendo assintoticamente para y=1 em xto+infty.

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