Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que satisfaça a todas as condições dadas.
é impar
Passo 1
O enunciado pede um esboço de um exemplo de função
que satisfaça
.
.
.
.
é ímpar, isto é,
.
Conteúdo: vamos usar funções racionais com pólos de ordem par em
(para que o limite seja
nos dois lados) e escolher grau do numerador ímpar e maior que do denominador (para que
quando
), além de garantir paridade ímpar.
Passo 2
Definimos
Verificações iniciais:
- Em
, . - O numerador é função ímpar (
) e o denominador é função par , logo é ímpar:
Passo 3
Comportamento em
:
quando , o numerador
e o denominador
, então
quando
Como o denominador
é sempre positivo,
tende a
pelos dois lados de
.
Passo 4
Comportamento em
:
para grande,
para
logo
. Há, na verdade, uma assimptota oblíqua
.
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico de
:
- Há assíntotas verticais em
e (pólos de ordem ). - Há assimptota oblíqua
quando . - Entre
, cai de até em . - Para
, também é negativo, vai de em , sobe até um máximo negativo e volta a obedecendo a reta . - Para
, o gráfico é simétrico ímpar em relação à origem (ramo acima do eixo em e assim por diante).
ASCII simplificado (assíntotas tracejadas):
– As bolinhas em
indicam assíntotas verticais; o ponto em
é
.
Resposta
Um exemplo é
cujo gráfico tem assíntotas verticais em
, passando por
, assimptota oblíqua
, e satisfaz
,
,
e é função ímpar.