Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas as condições dadas.
f(0)=0, lim x 1 f(x)=-infty, lim x infty f(x)=-infty, f é impar

Passo 1

O enunciado pede um esboço de um exemplo de função f que satisfaça
1. f(0)=0 2. limxto1f(x)=-infty 3. limxtoinftyf(x)=-infty 4. f é ímpar, isto é, f(-x)=-f(x).
Conteúdo: vamos usar funções racionais com pólos de ordem par em x=1 (para que o limite seja -infty nos dois lados) e escolher grau do numerador ímpar e maior que do denominador (para que f(x)to-infty quando xto+infty), além de garantir paridade ímpar.

Passo 2

Definimos
f(x) = -x^5(x^2-1)^2
Verificações iniciais:
  • Em x=0, f(0) = -0^5(-1)^2=0.
  • O numerador é função ímpar ( x^5) e o denominador é função par (x^2-1)^2, logo f é ímpar: f(-x) = -(-x)^5((-x)^2-1)^2 = -l(-x^5(x^2-1)^2r) = -,f(x)

Passo 3

Comportamento em x=1:
quando xto1, o numerador to1 e o denominador to0^+, então
limxto1f(x) = -infty
Como o denominador (x^2-1)^2 é sempre positivo, f(x) tende a -infty pelos dois lados de x=1.

Passo 4

Comportamento em xtoinfty:
para x grande,
f(x) = -x^5(x^2-1)^2 = -x^5x^4l(1 - 2x^-2+x^-4r) sim -x(quando xtoinfty),
logo limxtoinftyf(x)=-infty. Há, na verdade, uma assimptota oblíqua y=-x.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico de f:
  • Há assíntotas verticais em x=-1 e x=1 (pólos de ordem 2).
  • Há assimptota oblíqua y=-x quando |x|toinfty.
  • Entre (0,1), f(x)<0 cai de f(0)=0 até -infty em xto1^-.
  • Para x>1, f(x) também é negativo, vai de -infty em xto1^+, sobe até um máximo negativo e volta a -infty obedecendo a reta yapprox -x.
  • Para x<0, o gráfico é simétrico ímpar em relação à origem (ramo acima do eixo em (-1,0) e assim por diante).
ASCII simplificado (assíntotas tracejadas):
c y uparrow +infty mid wed>= ramo em x<-1 wed>= ramo em x>1 mid / mid / -----+(+)------bul<=t----bul<=t--------------to x -101 mid / mid / ramo entre -1 e 0 (positivo) -infty mid bul<=t ramo entre 0 e 1 (negativo)
– As bolinhas em x=-1,1 indicam assíntotas verticais; o ponto em 0 é (0,0).

Resposta

Um exemplo é
f(x)=-x^5(x^2-1)^2,
cujo gráfico tem assíntotas verticais em x=pm1, passando por (0,0), assimptota oblíqua y=-x, e satisfaz f(0)=0, limxto1f(x)=-infty, limxtoinftyf(x)=-infty e é função ímpar.

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