Determine nas funções definidas abaixo o vetor gradiente de f, a derivada direcional de f na direção do vetor v no ponto dado.
f(x, y)=3 x^{2} y^{3}-4 x^{3} y^{2} ; v=3 i+4 j ; P(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o vetor gradiente de
f(x,y)=3x^{2}y^{3}-4x^{3}y^{2}
e em seguida calcular a derivada direcional de f no ponto P(-1,1) na direção do vetor \mathbf v=3\,\mathbf i+4\,\mathbf j.
Para isso vamos precisar das derivadas parciais de f para formar \nabla f e depois projetá-lo sobre o versor da direção dada.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y^{3}\bigr) - \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}y^{2}\bigr) =6x\,y^{3}-12x^{2}\,y^{2},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{3}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{2}\bigr) =9x^{2}\,y^{2}-8x^{3}\,y.

Passo 3

Avaliamos \nabla f em P(-1,1).
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(-1,1)} =6(-1)\cdot1^{3}-12(-1)^{2}\cdot1^{2}=-6-12=-18,
\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(-1,1)} =9(-1)^{2}\cdot1^{2}-8(-1)^{3}\cdot1=9+8=17.
Logo
\nabla f(-1,1)=\bigl(-18,\,17\bigr).

Passo 4

Para a derivada direcional precisamos do versor \mathbf u=\mathbf v/\|\mathbf v\|.
\|\mathbf v\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5, \qquad \mathbf u=\Bigl(\tfrac{3}{5},\,\tfrac{4}{5}\Bigr).
Então
D_{\mathbf v}f(-1,1) =\nabla f(-1,1)\cdot\mathbf u =(-18)\,\tfrac{3}{5}+17\,\tfrac{4}{5} =\frac{-54+68}{5} =\frac{14}{5}.

Resposta

\nabla f(x,y)=(6x\,y^{3}-12x^{2}y^{2},\,9x^{2}y^{2}-8x^{3}y) \nabla f(-1,1)=(-18,17) D_{\mathbf v}f(-1,1)=\tfrac{14}{5}

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