Determine nas funções definidas abaixo o vetor gradiente de f, a derivada direcional de f na direção do vetor v no ponto dado.
f(x, y)=\ln x+e^{y} ; v=\frac{\sqrt{2}}{2} i+\frac{\sqrt{2}}{2} j ; P(1,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln x + e^{y}
e pede o vetor gradiente \nabla f e a derivada direcional de f na direção do vetor
v = \frac{\sqrt{2}}{2}\,i + \frac{\sqrt{2}}{2}\,j
no ponto P(1,0). Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais (para o gradiente) e depois o produto escalar entre o gradiente em P e o vetor direção (assumindo-o unitário).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln x + e^{y}\bigr) = \frac{1}{x}.
A derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln x + e^{y}\bigr) = e^{y}.
Portanto, o gradiente é
\nabla f(x,y) = \bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr) = \Bigl(\frac{1}{x},\,e^{y}\Bigr).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P(1,0).
Substituindo x=1 e y=0 em \nabla f, temos
\nabla f(1,0) = \Bigl(\frac{1}{1},\,e^{0}\Bigr) = (1,\,1).

Passo 4

Verificamos se o vetor v já é unitário.
O comprimento de v é
\|v\| = \sqrt{\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)^{2}} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1.
Como \|v\|=1, podemos usar v diretamente na fórmula da derivada direcional.
A derivada direcional de f em P na direção v é
D_{v}f(1,0) = \nabla f(1,0)\cdot v = (1,1)\cdot\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Bigr).
Fazendo o produto escalar,
D_{v}f(1,0) = 1\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} + 1\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.

Resposta

O vetor gradiente é
\nabla f(x,y) = \Bigl(\frac{1}{x},\,e^{y}\Bigr)
e, no ponto P(1,0),
\nabla f(1,0) = (1,1).
A derivada direcional de f em P na direção de v vale
D_{v}f(1,0) = \sqrt{2}.

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