Determine nas funções definidas abaixo o vetor gradiente de
, a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o vetor gradiente
e a derivada direcional de
na direção do vetor
no ponto
. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas parciais (para o gradiente) e depois o produto escalar entre o gradiente em
e o vetor direção (assumindo-o unitário).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
.
A derivada parcial em relação a é
A derivada parcial em relação a
A derivada parcial em relação a
é
Portanto, o gradiente é
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto
.
Substituindo e
em
, temos
Substituindo
Passo 4
Verificamos se o vetor
já é unitário.
O comprimento de é
O comprimento de
Como
, podemos usar
diretamente na fórmula da derivada direcional.
A derivada direcional de em
na direção
é
A derivada direcional de
Fazendo o produto escalar,
Resposta
O vetor gradiente é
e, no ponto
,
A derivada direcional de
em
na direção de
vale