1. \int \csc ^{2} u d u=-\cot u+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida da função trigonométrica \csc^{2}u. O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas conhecendo derivadas básicas, em especial a derivada de \cot u.

Passo 2

Lembramos que a derivada da função \cot u é
\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr) = -\csc^{2}u.
Ou seja, \csc^{2}u aparece com sinal negativo como derivada de \cot u.

Passo 3

Para integrar \csc^{2}u basta observar que
\csc^{2}u = -\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr).
Portanto,
\int \csc^{2}u\,du = \int -\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr)\,du.

Passo 4

Ao integrar o lado direito, o operador de derivada e o diferencial se cancelam, gerando
\int -\frac{d}{du}\bigl(\cot u\bigr)\,du = -\cot u + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \csc^{2}u\,du = -\cot u + C.

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