Determine as funções derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y de
f(x, y)=ll x^3 y-x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as derivadas parciais de f(x, y) em relação a x e y . A função f(x, y) é definida de duas formas: uma para quando (x, y) não é o ponto (0,0) e outra especificamente para (0,0) . Para resolver isso, vamos usar regras de derivação, como a regra do quociente, e entender como funcionam as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no caso onde (x, y) neq (0,0) . A função é:
f(x, y) = x^3 y - x y^3x^2 + y^2
Para achar partial fpartial x , vamos tratar y como uma constante e derivar em relação a x .

Passo 3

Aplicando a regra do quociente para derivar f em relação a x :
partial fpartial x = (3x^2 y - y^3)(x^2 + y^2) - (x^3 y - x y^3)(2x)(x^2 + y^2)^2
Aqui, a derivada do numerador em relação a x é 3x^2 y - y^3 e a derivada do denominador em relação a x é 2x . Multiplicamos conforme a regra do quociente e simplificamos.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
partial fpartial x = (3x^2 y - y^3)(x^2 + y^2) - 2x(x^3 y - x y^3)(x^2 + y^2)^2
Distribuindo os termos:
= 3x^4 y + 3x^2 y^3 - x^2 y^3 - y^5 - 2x^4 y + 2x^2 y^3(x^2 + y^2)^2
Simplificando os termos semelhantes:
= x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular partial fpartial y para (x, y) neq (0,0) . Novamente, usamos a regra do quociente, mas agora tratando x como constante.
partial fpartial y = (x^3 - 3x y^2)(x^2 + y^2) - (x^3 y - x y^3)(2y)(x^2 + y^2)^2
Derivamos o numerador em relação a y , que dá x^3 - 3x y^2 , e o denominador em relação a y é 2y .

Passo 6

Simplificando a expressão de partial fpartial y :
partial fpartial y = (x^3 - 3x y^2)(x^2 + y^2) - 2y(x^3 y - x y^3)(x^2 + y^2)^2
Distribuindo os termos:
= x^5 + x^3 y^2 - 3x y^2 x^2 - 3x y^4 - 2x^3 y^2 + 2x y^4(x^2 + y^2)^2
Simplificando os termos semelhantes:
= x^5 - 2x^3 y^2 -x y^4(x^2 + y^2)^2

Passo 7

Agora, precisamos verificar o ponto (0,0) . A função está definida como f(0,0) = 0 . Para achar as derivadas parciais nesse ponto, usamos o limite da definição de derivada parcial.
Para partial fpartial x em (0,0) :
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
Da mesma forma, para partial fpartial y em (0,0) :
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0

Resposta

As derivadas parciais de f(x, y) são:
partial fpartial x = x^4 y + 4x^2 y^3 - y^5(x^2 + y^2)^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)
partial fpartial y = x^5 - 2x^3 y^2 -x y^4(x^2 + y^2)^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)

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