Seja f(x, y)=e^x-y.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico do f no ponto (0,0, f(0,0)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função f(x, y) = e^x - y e precisa achar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto (0, 0, f(0,0)) . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de f(0,0) para identificar o ponto no espaço. Substituindo x = 0 e y = 0 na função:
f(0,0) = e^0 - 0 = e^0 = 1
Então, o ponto que vamos analisar é (0, 0, 1) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
fx(x, y) = partialpartial x e^x - y = e^x - y
fy(x, y) = partialpartial y e^x - y = -e^x - y

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (0,0) :
fx(0,0) = e^0 - 0 = 1
fy(0,0) = -e^0 - 0 = -1
Esses valores vão nos ajudar a montar a equação do plano tangente.

Passo 5

A equação do plano tangente a uma superfície z = f(x,y) no ponto (a, b, f(a,b)) é dada por:
z = f(a,b) + fx(a,b)(x - a) + fy(a,b)(y - b)
Substituindo a = 0 , b = 0 e f(0,0) = 1 :
z = 1 + 1 cdot (x - 0) + (-1) cdot (y - 0)
Simplificando:
z = x - y + 1
Essa é a equação do plano tangente.

Passo 6

Para encontrar a reta normal, precisamos de um ponto e de um vetor diretor. O ponto é (0, 0, 1) e o vetor normal ao plano tangente é (fx, fy, -1) , que no nosso caso é (1, -1, -1) .

Passo 7

A equação paramétrica da reta normal é dada por:
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
Onde (x0, y0, z0) é o ponto e (a, b, c) é o vetor diretor. Substituindo:
x = 0 + 1t y = 0 - 1t z = 1 - 1t
Ou seja:
x = t, y = -t, z = 1 - t

Resposta

A equação do plano tangente é z = x - y + 1 e a equação paramétrica da reta normal é:
x = t, y = -t, z = 1 - t

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