Seja .
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico do no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem a função e precisa achar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de para identificar o ponto no espaço. Substituindo e na função:
Então, o ponto que vamos analisar é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Esses valores vão nos ajudar a montar a equação do plano tangente.
Passo 5
A equação do plano tangente a uma superfície no ponto é dada por:
Substituindo , e :
Simplificando:
Essa é a equação do plano tangente.
Passo 6
Para encontrar a reta normal, precisamos de um ponto e de um vetor diretor. O ponto é e o vetor normal ao plano tangente é , que no nosso caso é .
Passo 7
A equação paramétrica da reta normal é dada por:
Onde (x0, y0, z0) é o ponto e (a, b, c) é o vetor diretor. Substituindo:
x = 0 + 1t y = 0 - 1t z = 1 - 1t
Ou seja:
x = t, y = -t, z = 1 - t
Resposta
A equação do plano tangente é z = x - y + 1 e a equação paramétrica da reta normal é: