Seja
.
Determine a linearização de
em
e use-a para aproximar
Determine a linearização de
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrar a linearização da função
no ponto
e usar essa aproximação para calcular
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de linearização, que envolve derivadas parciais e a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a linearização de uma função de duas variáveis em um ponto
é dada por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Então,
Passo 5
A derivada parcial de
em relação a
:
Então,
Passo 6
Agora, substituindo esses valores na fórmula da linearização:
Passo 7
Por fim, usamos a linearização para aproximar
:
Resposta
A linearização de
em
é
e a aproximação de
é
.