Seja f(x, y)=e^x-y.
Determine a linearização de f em (0,0) e use-a para aproximar f(0,02 ;-0,1)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrar a linearização da função f(x, y) = e^x - y no ponto (0,0) e usar essa aproximação para calcular f(0,02, -0,1) . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de linearização, que envolve derivadas parciais e a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a linearização de uma função de duas variáveis em um ponto (a,b) é dada por:
L(x, y) = f(a,b) + fx(a,b)(x - a) + fy(a,b)(y - b)
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y no ponto (0,0).

Passo 3

Vamos calcular f(0,0) :
f(0,0) = e^0 - 0 = e^0 = 1

Passo 4

Agora, a derivada parcial de f em relação a x :
fx(x,y) = partialpartial x e^x - y = e^x - y
Então,
fx(0,0) = e^0 - 0 = 1

Passo 5

A derivada parcial de f em relação a y :
fy(x,y) = partialpartial y e^x - y = -e^x - y
Então,
fy(0,0) = -e^0 - 0 = -1

Passo 6

Agora, substituindo esses valores na fórmula da linearização:
L(x, y) = 1 + 1 cdot (x - 0) + (-1) cdot (y - 0) = 1 + x - y

Passo 7

Por fim, usamos a linearização para aproximar f(0,02, -0,1) :
L(0,02, -0,1) = 1 + 0,02 - (-0,1) = 1 + 0,02 + 0,1 = 1,12

Resposta

A linearização de f em (0,0) é L(x, y) = 1 + x - y e a aproximação de f(0,02, -0,1) é 1,12 .

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