Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se convergir, encontre sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se uma série geométrica é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar a sua soma. Estamos lidando com uma série geométrica, que é um tipo de série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Para resolver isso, vamos identificar a razão da série e verificar se ela atende aos critérios para convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série e a razão. A série dada é:
O primeiro termo () ocorre quando :
Agora, vamos identificar a razão (). A razão é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o próximo. Observando a expressão, podemos ver que a razão é:
Passo 3
Agora que temos a razão, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Vamos calcular:
Como 23 < 1, a série geométrica converge.
Passo 4
Como a série é convergente, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde:
S é a soma da série
a é o primeiro termo
r é a razão
Passo 5
Vamos substituir os valores que encontramos na fórmula:
S = 131 - ( -23 ) = 131 + 23 = 1353 = 15
Resposta
A série geométrica é convergente e a sua soma é 15.