Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se convergir, encontre sua soma.
sumn=1^infty (-2)^n-13^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se uma série geométrica é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar a sua soma. Estamos lidando com uma série geométrica, que é um tipo de série onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Para resolver isso, vamos identificar a razão da série e verificar se ela atende aos critérios para convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série e a razão. A série dada é:
sumn=1^infty (-2)^n-13^n
O primeiro termo ( a) ocorre quando n = 1:
a = (-2)^1-13^1 = 13
Agora, vamos identificar a razão ( r). A razão é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o próximo. Observando a expressão, podemos ver que a razão é:
r = -23

Passo 3

Agora que temos a razão, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |r| < 1.
Vamos calcular:
|r| = | -23 | = 23
Como 23 < 1, a série geométrica converge.

Passo 4

Como a série é convergente, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde:
  • S é a soma da série
  • a é o primeiro termo
  • r é a razão

Passo 5

Vamos substituir os valores que encontramos na fórmula:
S = 131 - ( -23 ) = 131 + 23 = 1353 = 15

Resposta

A série geométrica é convergente e a sua soma é 15.

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