Determine as funções
e
nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função:
O objetivo aqui é identificar duas funções,
e
, que compõem
, de forma que a gente possa aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada de
. A regra da cadeia é super útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são as duas funções que compõem
. Olhando para
, podemos ver que há uma função dentro de uma potência. Então, podemos definir:
- Função interna (
): A parte que está dentro da potência, que é .
- Função externa (
): A potência que está sendo aplicada à função interna. Nesse caso, estamos elevando à quarta potência.
Passo 3
Agora que identificamos
e
, vamos lembrar como aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para derivar uma função composta
, a derivada é:
Ou seja, a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função externa
:
Agora, substituímos
por
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada da função interna
:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
é - A derivada de
é - A derivada de
é (usando a regra da potência: com )
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando
e
:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A derivada da função
é: