Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=(x^28+x-1x)^4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função:
f(x) = (x^28 + x - 1x)^4
O objetivo aqui é identificar duas funções, g(x) e h(x) , que compõem f(x) , de forma que a gente possa aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada de f(x) . A regra da cadeia é super útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são as duas funções que compõem f(x) . Olhando para f(x) , podemos ver que há uma função dentro de uma potência. Então, podemos definir:
  • Função interna ( g(x) ): A parte que está dentro da potência, que é x^28 + x - 1x.
g(x) = x^28 + x - 1x
  • Função externa ( h(u) ): A potência que está sendo aplicada à função interna. Nesse caso, estamos elevando g(x) à quarta potência.
h(u) = u^4

Passo 3

Agora que identificamos g(x) e h(u) , vamos lembrar como aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, para derivar uma função composta h(g(x)) , a derivada é:
f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x)
Ou seja, a derivada da função externa avaliada na função interna, multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função externa h(u) = u^4 :
h'(u) = 4u^3
Agora, substituímos u por g(x) :
h'(g(x)) = 4 ( x^28 + x - 1x )^3

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada da função interna g(x) :
g(x) = x^28 + x - 1x
Derivando termo a termo:
  • A derivada de x^28 é 2x8 = x4
  • A derivada de x é 1
  • A derivada de -1x é 1x^2 (usando a regra da potência: ddxx^n = nx^n-1 com n = -1 )
Então,
g'(x) = x4 + 1 + 1x^2

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia juntando h'(g(x)) e g'(x) :
f'(x) = h'(g(x)) cdot g'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = 4 ( x^28 + x - 1x )^3 cdot ( x4 + 1 + 1x^2 )

Resposta

A derivada da função f(x) = (x^28 + x - 1x)^4 é:
f'(x) = 4 ( x^28 + x - 1x )^3 cdot ( x4 + 1 + 1x^2 )

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