Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=cotg(pi-1x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=cotg(pi - tfrac1x) usando a regra da cadeia; o conteúdo essencial é derivada de funções compostas e a derivada de cot.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos a função externa F(u)=cot(u) e a função interna g(x)=pi - tfrac1x.

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna:
g(x)=pi - x^-1implies g'(x)=0 - (-1)x^-2=x^-2=1x^2

Passo 4

Calculamos a derivada da função externa em relação a u:
F(u)=cot(u)implies F'(u)=-csc^2(u)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de f(x)=F(g(x)) fica:
f'(x)=F'(g(x))cdot g'(x)=-csc^2l(g(x)r)cdot1x^2=-1x^2,csc^2l(pi-tfrac1xr)

Passo 6

Observando que csc(pi-theta)=csc(theta), podemos simplificar ainda mais:
f'(x)=-1x^2,csc^2l(tfrac1xr)

Resposta

As funções para a regra da cadeia são:
f(u)=\cot(u)
g(x)=\pi-\tfrac1x
E a derivada é
$$f’(x)=-\frac{1}{x2},\csc2\Bigl(\pi-\tfrac1x\Bigr) ext{,}
$$
que, usando f'(x)=-1x^2,csc^2l(pi-tfrac1xr) ext, , equivale a
csc(pi-theta)=csc(theta)

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