Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=x tg(2 raizx)+7 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x,tgl(2raizxr)+7x
e pede para identificar as funções internas e externas para aplicar a regra da cadeia, além de calcular f'(x). Vamos usar também a regra do produto e a derivada de soma.

Passo 2

Na parte composta temos tgl(2raizxr). Definimos
frm ext(u)&=tg(u), grm int(x)&=2raizx
Pela regra da cadeia,
ddxfrm extl(grm int(x)r) =frm ext'l(grm int(x)r),cdot,grm int'(x)

Passo 3

Calculamos frm ext'(u). Como
ddutg(u)=sec^2(u),
temos
frm ext'(u)=sec^2(u)

Passo 4

Agora derivamos grm int(x)=2raizx=2x^1/2. Logo
grm int'(x)=2cdot12,x^-1/2=x^-1/2=1raizx

Passo 5

Aplicando a cadeia,
ddxtgl(2raizxr) =sec^2l(2raizxr),cdot1raizx

Passo 6

A função original é soma de x,tg(2raizx) com 7x. Para a primeira parcela usamos a regra do produto:
ddxl[x,tg(2raizx)r] =1cdottg(2raizx) +xcdotddxtg(2raizx)

Passo 7

Substituindo a derivada da tangente composta,
ddxl[x,tg(2raizx)r] =tg(2raizx) +xcdotsec^2(2raizx)cdot1raizx =tg(2raizx)+raizx,sec^2(2raizx)

Passo 8

Finalmente, derivando 7x obtemos 7. Somando tudo,
f'(x) =tg(2raizx)+raizx,sec^2(2raizx)+7

Resposta

As funções para a cadeia são
f(u)=tg(u), g(x)=2raizx,
e a derivada da função dada é
f'(x)=tg(2raizx)+raizx,sec^2(2raizx)+7

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