Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=(1+cos (x)sen(x))^-1.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=l(1+cos(x)sen(x)r)^-1
como composição de uma função externa e uma interna, e em seguida usar a regra da cadeia para calcular f'(x). Vamos precisar também da regra do quociente para derivar a função interna.

Passo 2

Definimos
- a função interna
g(x)=1+cos(x)sin(x),
- e a função externa
h(u)=u^-1
Assim
f(x)=hl(g(x)r)

Passo 3

Calculamos g'(x) usando a regra do quociente: se g(x)=dfracN(x)D(x), então
g'(x) =N'(x),D(x)-N(x),D'(x)D(x)^2
Aqui N(x)=1+cos(x) e D(x)=sen(x), logo
N'(x)=-sin(x), D'(x)=cos(x)
Substituindo,
g'(x) =-sin(x),sin(x)-(1+cos(x))cos(x)sin^2(x) =-sin^2(x)-cos(x)-cos^2(x)sin^2(x) =-l(sin^2(x)+cos^2(x)r)-cos(x)sin^2(x) =-1-cos(x)sin^2(x)

Passo 4

A derivada de h(u)=u^-1 é
h'(u)=-u^-2
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'l(g(x)r),g'(x) =-l(g(x)r)^-2,g'(x) =-g'(x)l(g(x)r)^2
Substituindo g(x) e g'(x):
f'(x) =- -1+cos(x)sin^2(x) (1+cos(x)sin(x))^2 =1+cos(x)sin^2(x)cdotsin^2(x)l(1+cos(x)r)^2 =11+cos(x)

Resposta

As funções para a regra da cadeia são
g(x)=1+cos(x)sen(x), h(u)=u^-1,
e a derivada é
f'(x)=11+cos(x)

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