Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=cos (e^-x^2).

Passo 1

O enunciado pede para escrever cosl(e^-x^2r) na forma de uma composição fl(g(x)r) e em seguida usar a regra da cadeia para encontrar a derivada. Vamos precisar saber que, se
h(x)=fl(g(x)r),
então
h'(x)=f'l(g(x)r),g'(x)

Passo 2

Identificamos a função externa f e a interna g da seguinte forma:
f(u)=cos(u), g(x)=e^-x^2
De fato, ,fl(g(x)r)=cosl(e^-x^2r).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada uma:
  1. Para f(u)=cos(u) vale
f'(u)=-sin(u)
  1. Para g(x)=e^-x^2 usamos a regra da cadeia dentro do expoente:
g'(x)=e^-x^2cdotddx(-x^2) =e^-x^2cdot(-2x) =-2x,e^-x^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia em
h(x)=cosl(e^-x^2r),
temos
h'(x) =f'l(g(x)r),g'(x) =l[-sinl(e^-x^2r)r]cdotl[-2x,e^-x^2r] =2x,e^-x^2,sinl(e^-x^2r)

Resposta

As funções são
f(u)=cos(u), g(x)=e^-x^2,
e a derivada é
ddxcosl(e^-x^2r) =2x,e^-x^2,sinl(e^-x^2r)

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