Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=x^2(sen(x))^4+x(cos (x))^-2.

Passo 1

O enunciado pede para identificar as funções externas f e internas g de cada parte da função
h(x)=x^2(sin x)^4+x(cos x)^-2
para usar a regra da cadeia e depois calcular h'(x). Vamos também precisar da regra do produto, pois cada termo é um produto de funções de x.

Passo 2

Separemos h em dois termos:
A(x)=x^2(sin x)^4 e B(x)=x(cos x)^-2
Derivaremos cada um usando produto e cadeia.

Passo 3

Para A(x)=x^2cdot(sin x)^4:
– regra do produto entre x^2 e (sin x)^4.
– dentro de (sin x)^4 há composição. Definimos
f1(u)=u^4, g1(x)=sin x,
logo (sin x)^4=f1l(g1(x)r).

Passo 4

Calculando A'(x):
  1. Derivada de x^2 é 2x.
  2. Derivada de (sin x)^4 pela cadeia:
ddx(sin x)^4 =4(sin x)^3cdotddx(sin x) =4(sin x)^3cos x
Logo, pela regra do produto,
A'(x) =2xcdot(sin x)^4 + x^2cdotl[4(sin x)^3cos xr]

Passo 5

Para B(x)=xcdot(cos x)^-2:
– regra do produto entre x e (cos x)^-2.
– dentro de (cos x)^-2 há composição. Definimos
f2(u)=u^-2, g2(x)=cos x,
logo (cos x)^-2=f2l(g2(x)r).

Passo 6

Calculando B'(x):
  1. Derivada de x é 1.
  2. Derivada de (cos x)^-2 pela cadeia:
ddx(cos x)^-2 =-2(cos x)^-3cdotddx(cos x) =-2(cos x)^-3),(-sin x =2sin x,(cos x)^-3
Assim,
B'(x) =1cdot(cos x)^-2 + xcdotl[2sin x,(cos x)^-3r]

Passo 7

Somando A'(x) e B'(x) obtemos a derivada de h:
h'(x) =2x(sin x)^4 +4x^2(sin x)^3cos x +(cos x)^-2 +2xsin x,(cos x)^-3

Resposta

As funções para a cadeia são
f1(u)=u^4,;g1(x)=sin x e f2(u)=u^-2,;g2(x)=cos x
A derivada final é
h'(x) =2x(sin x)^4 +4x^2(sin x)^3cos x +(cos x)^-2 +2xsin x,(cos x)^-3

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