Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Prof ^a Andréia Malacarne

7^ a LISTA DE EXERCÍCIOS

Exercício 1 - Determine todas as derivadas parciais (de 1^ a ordem) da função:
h(x, y)=y e^x-y.

Passo 1

Estamos resolvendo a função de duas variáveis h(x,y)=y,e^x-y. O conteúdo é derivada parcial de primeira ordem, e para isso vamos usar a definição de derivada parcial e as regras de produto e cadeia.

Passo 2

Para derivar parcialmente em relação a x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto (aqui o “produto” é y vezes e^x-y) e a regra da cadeia para e^x-y.
Calculando partial hpartial x:
partialpartial xl(y,e^x-yr)=ycdotpartialpartial xl(e^x-yr)
Como partialpartial x(e^x-y)=e^x-y, temos
partial hpartial x=y,e^x-y

Passo 3

Para derivar parcialmente em relação a y, tratamos x como constante. Novamente usamos a regra do produto em ycdot e^x-y e a regra da cadeia para e^x-y.
Calculando partial hpartial y:
partialpartial yl(y,e^x-yr)=partial ypartial y,e^x-y+ycdotpartialpartial yl(e^x-yr)
Aqui partial ypartial y=1 e partialpartial y(e^x-y)=e^x-ycdot(-1)=-e^x-y. Então
partial hpartial y=e^x-y-y,e^x-y=e^x-y(1-y)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partial hpartial x(x,y)=y,e^x-y,
partial hpartial y(x,y)=e^x-y(1-y)

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