Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=sen(x^2) cos (2 x).

Passo 1

O enunciado pede para identificar as funções intermediárias em cada composição e depois calcular
a derivada de
f(x)=sinl(x^2r),cos(2x)
Aqui vamos usar a regra do produto e, em cada fator, a regra da cadeia.

Passo 2

No primeiro fator sin(x^2), definimos
u = g(x) = x^2, f1(u) = sin(u)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em sin(x^2):
ddxsinl(x^2r) = f1'(u),l(g'(x)r) = cosl(ur)cdot 2x = 2xcosl(x^2r)

Passo 4

No segundo fator cos(2x), definimos
v = k(x) = 2x, f2(v) = cos(v)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia em cos(2x):
ddxcos(2x) = f2'(v),l(k'(x)r) = l(-sin(v)r)cdot 2 = -2sin(2x)

Passo 6

Agora usamos a regra do produto em f(x)=sin(x^2)cdotcos(2x):
f'(x) = ddxl[sin(x^2)r]cdotcos(2x) + sin(x^2)cdotddxl[cos(2x)r]

Passo 7

Substituindo as derivadas parciais:
f'(x) = l[2xcos(x^2)r]cos(2x) + sin(x^2)l[-2sin(2x)r] = 2xcos(x^2)cos(2x)-2sin(x^2)sin(2x)

Resposta

f'(x)=2xcosl(x^2r)cos(2x)-2sinl(x^2r)sin(2x)

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