Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=(sen(x)1+cos (x))^2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=l(sin(x)1+cos(x)r)^2
e pede para escrever esta função como composição ,fcirc g, identificando f e g, e em seguida calcular a sua derivada usando a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a parte interna
g(x)=sin(x)1+cos(x)
e a parte externa
f(u)=u^2
Assim, a função original é f(g(x)).

Passo 3

Calculamos a derivada da parte externa em relação a u:
f'(u)=2u

Passo 4

Calculamos a derivada de g(x). Usando a regra do quociente,
g'(x) =cos(x),(1+cos(x))-sin(x),(-sin(x))l(1+cos(x)r)^2 =cos(x)+cos^2(x)+sin^2(x)(1+cos(x))^2 =1+cos(x)(1+cos(x))^2 =11+cos(x)

Passo 5

Pela regra da cadeia,
ddxl[f(g(x))r] =f'l(g(x)r),g'(x) =2,g(x),11+cos(x) =2,sin(x)1+cos(x);11+cos(x) =2,sin(x)(1+cos(x))^2

Resposta

f(u)=u^2, g(x)=sin(x)1+cos(x), ddx,f(g(x))=2,sin(x)l(1+cos(x)r)^2

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