Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=cotg(sen(x)x).

Passo 1

O enunciado pede para escrever
h(x)=cot!l(tfracsin(x)xr)
como composição de duas funções f e g de modo a usar a regra da cadeia, e em seguida calcular h'(x). Vamos precisar da derivada de uma cotangente e da derivada de uma razão sin(x)/x.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=sin(x)x
Esta é a parte que aparece dentro da cotangente.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para obter
g'(x) =xcos(x)-sin(x)x^2

Passo 4

Definimos a função externa
f(u)=cot(u)
Sabendo que dducot(u)=-csc^2(u), temos
f'(u)=-csc^2(u)

Passo 5

Pela regra da cadeia, a derivada de h(x)=fl(g(x)r) é
h'(x) =f'l(g(x)r),g'(x) =-csc^2!l(g(x)r),xcos(x)-sin(x)x^2
Substituindo g(x)=tfracsin(x)x, resulta
h'(x) =-csc^2!l(tfracsin(x)xr),xcos(x)-sin(x)x^2

Resposta

Funções escolhidas:
g(x)=sin(x)x, f(u)=cot(u)
Derivada:
h'(x) =-csc^2!l(tfracsin(x)xr),xcos(x)-sin(x)x^2

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