Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=(e^sen(x2))^3.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x)=l(e^senl(tfracx2r)r)^3
e pede que identifiquemos duas funções compostas para aplicar a regra da cadeia e, em seguida, calculemos a derivada. Aqui vamos usar: derivada de potência, derivada da função exponencial e derivada do seno.

Passo 2

Escolhemos a composição em dois níveis:
f(x)=e^senl(tfracx2r) e g(u)=u^3
Assim
F(x)=gl(f(x)r)

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia:
F'(x)=g'l(f(x)r)cdot f'(x)
Primeiro,
g'(u)=3,u^2 Longrightarrow g'l(f(x)r)=3l(f(x)r)^2=3l(e^sen(tfracx2)r)^2
Depois, para f(x)=e^sen(x/2),
f'(x)=e^sen(tfracx2)cdotddxl[sen(tfracx2)r] =e^sen(tfracx2)cdotcosl(tfracx2r)cdottfrac12

Passo 4

Multiplicando e simplificando:
F'(x) =3l(e^sen(tfracx2)r)^2,times,l(e^sen(tfracx2)cdottfrac12cos(tfracx2)r) =tfrac32l(e^sen(tfracx2)r)^3cosl(tfracx2r)

Resposta

f(x)=e^sen(tfracx2)
g(u)=u^3
F'(x)=32l(e^sen(tfracx2)r)^3cosl(tfracx2r)

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