Determine as funções f e g nas seguintes funções para aplicar a regra da cadeia e calcular a sua derivada.
f(x)=16(1+cos ^2(7 x))^3.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos derivar a função
f(x)=16l(1+cos^2(7x)r)^3
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos identificar uma função exterior e uma interior.

Passo 2

Definimos
g(x)=1+cos^2(7x)
como a função interior, e
h(u)=16,u^3
como a função exterior. Assim
f(x)=hl(g(x)r)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x)=h'l(g(x)r);cdot;g'(x)
Antes, calculamos
h'(u)=ddul(tfrac16u^3r) =16cdot3u^2 =12,u^2

Passo 4

Agora derivamos
g(x)=1+cos^2(7x)
Como a derivada de 1 é zero e usando a regra da cadeia em cos^2(7x), temos
g'(x)=2cos(7x)cdotddx[cos(7x)] =2cos(7x)cdotl(-sin(7x)r)cdot7 =-14,cos(7x),sin(7x)

Passo 5

Substituindo em
f'(x)=h'l(g(x)r),g'(x),
obtemos
f'(x) =12l(g(x)r)^2;l(-14cos(7x)sin(7x)r) =-7,(1+cos^2(7x))^2,cos(7x),sin(7x)

Resposta

Função exterior h e interior g:
g(x)=1+cos^2(7x), h(u)=16u^3
Derivada:
f'(x)=-7,(1+cos^2(7x))^2,cos(7x),sin(7x)

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