Exercício 2 - Determine as derivadas parciais indicadas:
h(x, y)=y^2 e^x-y-tan x ; partial hpartial x e partial hpartial y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de h(x,y)=y^2e^x-y-tan x. O conteúdo aqui é derivada parcial, e vamos precisar usar: a regra da cadeia (para e^x-y e tan x), a regra do produto (para y^2e^x-y) e lembrar que, ao derivar em relação a uma variável, a outra é vista como constante.

Passo 2

Para partial hpartial x, tratamos y como constante. A parte y^2e^x-y é um produto de constante y^2 por e^x-y. Usando cadeia:
ddxl(e^x-yr)=e^x-ycdot1=e^x-y,
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partialpartial xl(y^2e^x-yr)=y^2e^x-y

Passo 3

Em seguida, derivando -tan x em relação a x pela regra da derivada de tan x:
ddx(-tan x)=-sec^2x
Somando as duas partes, temos
partial hpartial x(x,y)=y^2e^x-y-sec^2x

Passo 4

Para partial hpartial y, tratamos x como constante. Na parte y^2e^x-y aplicamos regra do produto entre y^2 e e^x-y:
primeiro
ddy(y^2)=2y, e^x-y constante,
depois
ddy(e^x-y)=e^x-ycdot(-1)=-e^x-y,
então
partialpartial yl(y^2e^x-yr)=2y,e^x-y+y^2(-e^x-y)=(2y-y^2)e^x-y

Passo 5

Finalmente, -tan x não depende de y, então sua derivada parcial é zero. Juntando tudo:
partial hpartial y(x,y)=(2y-y^2)e^x-y

Resposta

partial hpartial x(x,y)=y^2e^x-y-sec^2x
partial hpartial y(x,y)=(2y-y^2)e^x-y

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