Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(1) em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
definida em é uniformemente contínua. Para isso, precisamos usar a definição: dizer que é uniformemente contínua em significa que
para todo existe tal que, para quaisquer ,
se então .
Passo 2
Suponha, por absurdo, que f seja uniformemente contínua. Então para o valor
epsilon0=ln22>0
deveria existir um de<a>0 tal que, sempre que |x-y|<de<a, teríamos
l|ln x-ln yr|<ln22
Passo 3
Vamos mostrar que, dado qualquer de<a>0, é possível escolher x,y violando essa condição. Há dois casos:
Se de<a>=12, escolha
x=12, y=1
Então |x-y|=tfrac12<=de<a e
l|ln x-ln yr| =l|ln!tfrac12-ln1r| =ln2 >ln22,
contradizendo a definição de continuidade uniforme.
Se de<a<tfrac12, escolha
x=de<a, y=2de<a
Como de<a<tfrac12 temos 2de<a<1, logo x,yin(0,1). Além disso |x-y|=de<a, e
l|ln x-ln yr| =l|ln(de<a)-ln(2de<a)r| =ln2 >ln22,
mais uma vez gerando contradição.
Resposta
A função f(x)=ln x em (0,1)não é uniformemente contínua.