Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(1) f(x)=ln x em (0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=ln x
definida em (0,1) é uniformemente contínua. Para isso, precisamos usar a definição: dizer que f é uniformemente contínua em (0,1) significa que
para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin(0,1),
se |x-y|<de<a então l|ln x-ln yr|<epsilon.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que f seja uniformemente contínua. Então para o valor
epsilon0=ln22>0
deveria existir um de<a>0 tal que, sempre que |x-y|<de<a, teríamos
l|ln x-ln yr|<ln22

Passo 3

Vamos mostrar que, dado qualquer de<a>0, é possível escolher x,y violando essa condição. Há dois casos:
  1. Se de<a>=12, escolha
    x=12, y=1
    Então |x-y|=tfrac12<=de<a e
    l|ln x-ln yr| =l|ln!tfrac12-ln1r| =ln2 >ln22,
    contradizendo a definição de continuidade uniforme.
  2. Se de<a<tfrac12, escolha
    x=de<a, y=2de<a
    Como de<a<tfrac12 temos 2de<a<1, logo x,yin(0,1). Além disso |x-y|=de<a, e
    l|ln x-ln yr| =l|ln(de<a)-ln(2de<a)r| =ln2 >ln22,
    mais uma vez gerando contradição.

Resposta

A função f(x)=ln x em (0,1) não é uniformemente contínua.

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