- Problema 5.23. Mostre que
não é uniformemente contínua se, e somente se, existem
e sequências
com:
Passo 1
O enunciado quer caracterizar a não uniform continuidade de
através de sequências. O conteúdo é a definição de continuidade uniforme e como traduzi-la em termos de sequências que violam essa definição.
Passo 2
Suponha que
não seja uniformemente contínua. Então, pela negação da definição de continuidade uniforme, existe
tal que, para todo
, existem pontos
com
Agora, tome
. Para cada
, pela escolha de
, existem
tais que
Assim obtemos as sequências desejadas.
Passo 3
Suponha agora que existam
e sequências
,
tais que
Se
fosse uniformemente contínua, haveria
tal que sempre que
então
. Mas escolha
com
. Então
implicaria
, contradizendo
. Logo
não pode ser uniformemente contínua.
Resposta
Mostrou-se que
não é uniformemente contínua se, e somente se, existem
e duas sequências
,
tais que
estabelecendo a caracterização pedida.