• Problema 5.23. Mostre que f: R R não é uniformemente contínua se, e somente se, existem varepsilon>0 e sequências xn, yn com:
|xn-yn|<1n, e |f(xn)-f(yn)| >= varepsilon

Passo 1

O enunciado quer caracterizar a não uniform continuidade de f:RtoR através de sequências. O conteúdo é a definição de continuidade uniforme e como traduzi-la em termos de sequências que violam essa definição.

Passo 2

Suponha que f não seja uniformemente contínua. Então, pela negação da definição de continuidade uniforme, existe varepsilon>0 tal que, para todo de<a>0, existem pontos x,yinR com
|x-y|<de<a e |f(x)-f(y)|>=varepsilon
Agora, tome de<a=tfrac1n. Para cada ninN, pela escolha de varepsilon, existem xn,yn tais que
|xn - yn| < 1n e |f(xn) - f(yn)| >= varepsilon
Assim obtemos as sequências desejadas.

Passo 3

Suponha agora que existam varepsilon>0 e sequências (xn), (yn) tais que
|xn - yn| < 1n e |f(xn) - f(yn)| >= varepsilon para todo n
Se f fosse uniformemente contínua, haveria de<a>0 tal que sempre que |x-y|<de<a então |f(x)-f(y)|<varepsilon. Mas escolha N com 1/N<de<a. Então
|xN - yN| < 1N < de<a
implicaria |f(xN)-f(yN)|<varepsilon, contradizendo |f(xN)-f(yN)|>=varepsilon. Logo f não pode ser uniformemente contínua.

Resposta

Mostrou-se que f não é uniformemente contínua se, e somente se, existem varepsilon>0 e duas sequências (xn), (yn) tais que
|xn - yn|<1n e |f(xn)-f(yn)|>=varepsilon,
estabelecendo a caracterização pedida.

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