Exercício 1 (2,5 pontos) Calcular o determinante da matriz:
A=(rrrr 2 & 1 & 0 & -2 4 & 0 & 0 & -4 4 & 5 & 0 & 3 -4 & 3 & 2 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A= 2 & 1 & 0 & -2 4 & 0 & 0 & -4 4 & 5 & 0 & 3 -4 & 3 & 2 & 0
O conteúdo envolvido é cálculo de determinante de matriz 4times4. Para simplificar, vamos usar expansão por cofator numa coluna com muitos zeros (a coluna 3).

Passo 2

Na coluna 3 de A temos os elementos
;a13=0,;a23=0,;a33=0,;a43=2
Portanto, só o termo a43 contribui na expansão. Lembrando que o cofator C43=(-1)^4+3det(M43), onde M43 é a matriz obtida de A eliminando linha 4 e coluna 3. Logo
det(A) = a43,C43 =2cdot(-1)^7det(M43) =-2,det(M43)

Passo 3

O menor M43 é a matriz 3times3 formada pelas linhas 1,2,3 e colunas 1,2,4 de A:
M43 = 2 & 1 & -2 4 & 0 & -4 4 & 5 & 3
Então
det(A)=-2,det(M43)

Passo 4

Para calcular det(M43) vamos expandir pela primeira linha:
det(M43) =2det0 & -45 & 3 -1det4 & -44 & 3 +(-2)det4 & 04 & 5
Agora cada determinante 2times2:
det0 & -45 & 3 =0cdot3-(-4)cdot5=20,
det4 & -44 & 3 =4cdot3-(-4)cdot4=12+16=28,
det4 & 04 & 5 =4cdot5-0cdot4=20
Substituindo:
det(M43) =2cdot20-1cdot28+(-2)cdot20 =40-28-40=-28

Passo 5

Voltando em det(A)=-2det(M43), temos
det(A)=-2cdot(-28)=56

Resposta

O determinante de A é 56.

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