Exercício 6. Mostre que:
A operação soma/adição em Z é comutativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a soma em Z é comutativa, isto é,
forall m,ninZ, m+n = n+m
Vamos usar a construção de Z como classes de equivalência de pares de naturais e a comutatividade já conhecida em N.

Passo 2

Definimos
Z = (NtimesN)/!sim,
onde
(a,b)sim(c,d)iff a+d = b+c
Denotamos por [a,b] a classe de equivalência de (a,b). A soma em Z é dada por
[a,b] + [c,d] = [,a+c,;b+d,]

Passo 3

Sabemos que a soma em N é comutativa, ou seja, para quaisquer a,b,c,dinN vale
a+c = c+a e b+d = d+b

Passo 4

Tomando quaisquer [a,b],[c,d]inZ, usando a comutatividade em N temos
[a,b]+[c,d] = [,a+c,;b+d,] = [,c+a,;d+b,] = [c,d]+[a,b]
Logo a soma em Z é comutativa.

Resposta

Para todos m,ninZ vale
m+n = n+m,
logo a operação soma em Z é comutativa.

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