Exercício 6. Mostre que:
A operação soma/adição em
é comutativa.
A operação soma/adição em
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a soma em
é comutativa, isto é,
Vamos usar a construção de
como classes de equivalência de pares de naturais e a comutatividade já conhecida em
.
Passo 2
Definimos
onde
Denotamos por
a classe de equivalência de
. A soma em
é dada por
Passo 3
Sabemos que a soma em
é comutativa, ou seja, para quaisquer
vale
Passo 4
Tomando quaisquer
, usando a comutatividade em
temos
Logo a soma em
é comutativa.
Resposta
Para todos
vale
logo a operação soma em
é comutativa.