Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(2) f(x)=x sin x em [0, infty)

Passo 1

O enunciado define a função ,f:[0,infty)toR dada por
f(x)=xsin x
Queremos verificar se f é uniformemente contínua em [0,infty). Por definição, f é uniformemente contínua se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin[0,infty), sempre que |x-y|<de<a tivermos |f(x)-f(y)|<varepsilon.

Passo 2

Para mostrar que f não é uniformemente contínua, basta encontrar um varepsilon>0 e sequências (xn), (yn) em [0,infty) tais que |xn-yn|to0 mas |f(xn)-f(yn)|notto0. Definimos
xn = npi, yn = npi + tfrac1n
Então
|xn - yn| = 1n ;longrightarrow;0
Por outro lado, como sin(npi)=0,
f(yn)-f(xn) = l(npi + tfrac1nr)sin!l(tfrac1nr)
e, usando sin(1/n)sim1/n, obtemos
limntoinfty l(npi + tfrac1nr)sin!l(tfrac1nr) = pi
Logo, escolhendo varepsilon=1, para n grande teremos
|f(yn)-f(xn)|>pi/2>1=varepsilon
ao passo que |xn-yn|<de<a para qualquer de<a>0 e n suficientemente grande.

Passo 3

A existência dessas sequências contradiz a definição de continuidade uniforme. Concluímos, portanto, que f não é uniformemente contínua em [0,infty).

Resposta

A função f(x)=xsin x em [0,infty) não é uniformemente contínua.

Exercícios relacionados