Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(2)
em
(2)
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
Queremos verificar se
é uniformemente contínua em
. Por definição,
é uniformemente contínua se, para todo
, existe
tal que, para quaisquer
, sempre que
tivermos
.
Passo 2
Para mostrar que
não é uniformemente contínua, basta encontrar um
e sequências
,
em
tais que
mas
. Definimos
Então
Por outro lado, como
,
e, usando
, obtemos
Logo, escolhendo
, para
grande teremos
ao passo que
para qualquer
e
suficientemente grande.
Passo 3
A existência dessas sequências contradiz a definição de continuidade uniforme. Concluímos, portanto, que
não é uniformemente contínua em
.
Resposta
A função
em
não é uniformemente contínua.