Exercício 3 Seja:
A=(rrr 1 & -3 & -3 -1 & 4 & 1 -2 & 4 & 8 )
a) (1,5 pontos) Verificar se A satisfaz as condições da decomposição L U;
b) (1,0 ponto) Decompor A em L U;

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & -3 & -3 -1 & 4 & 1 -2 & 4 & 8
e pede: (a) verificar se ela admite decomposição LU sem pivoteamento; (b) encontrar L e U. Vamos usar o critério dos menores principais não nulos e o método de Doolittle (eliminação de Gauss com multiplicadores).

Passo 2

Calculamos os menores principais de A:
detl([,1,]r)=1neq0,
det1 & -3 -1 & 4 =1cdot4-(-3)cdot(-1)=4-3=1neq0,
e
det(A)=-2neq0

Passo 3

Como todos os menores principais são não nulos, a decomposição LU existe sem a necessidade de pivoteamento.

Passo 4

Aplicando Doolittle, o primeiro pivô é a11=1. Calculamos os multiplicadores
ell21=-11=-1, ell31=-21=-2
Eliminando abaixo da primeira coluna,
U^(1)= 1 & -3 & -3 0 & 1 & -2 0 & -2 & 2

Passo 5

O segundo pivô é u22=1. Calculamos
ell32=-21=-2
e eliminamos para obter
U= 1 & -3 & -3 0 & 1 & -2 0 & 0 & -2
Os multiplicadores formam a matriz
L= 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -2 & -2 & 1

Resposta

(a) Sim, pois os menores principais det([1])=1, det1&-3-1&4=1 e det(A)=-2 são todos não nulos.
(b) A decomposição A=LU é:
L= 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -2 & -2 & 1
U= 1 & -3 & -3 0 & 1 & -2 0 & 0 & -2

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