Exercício 2 (2,5 pontos) Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método de escalonamento de Gauss.
x+2 y+z & =4 4 x-2 y-4 z & =12 x-4 y-2 z & =-2

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x + 2y + z = 4, 4x - 2y - 4z = 12, x - 4y - 2z = -2,
e pede para resolver usando o método de escalonamento de Gauss. A ideia é escrever a matriz aumentada, aplicar operações elementares para obter forma triangular superior e, em seguida, usar retro-substituição para achar x, y e z.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e usamos o coeficiente 1 de x na primeira linha como pivô para zerar x nas linhas 2 e 3:
[ccc|c 1 & 2 & 1 & 4 4 & -2 & -4 & 12 1 & -4 & -2 & -2 ] longrightarrow [ccc|c 1 & 2 & 1 & 4 0 & -10 & -8 & -4 0 & -6 & -3 & -6 ]

Passo 3

Agora usamos o pivô -10 na segunda linha para zerar o termo em y na terceira linha. O multiplicador é
m = -6-10 = 35,
logo
R3 to R3 - tfrac35R2 Longrightarrow [ccc|c 1 & 2 & 1 & 4 0 & -10 & -8 & -4 0 & 0 & tfrac95 & -tfrac185 ]

Passo 4

Agora o sistema está em forma triangular superior, equivalente a
x + 2y + z = 4, -10y - 8z = -4, tfrac95z = -tfrac185
Da terceira equação vem
z = -tfrac185tfrac95 = -2
Substituindo em -10y -8z = -4 temos
-10y -8(-2) = -4 Longrightarrow -10y +16 = -4 Longrightarrow y = 2
Por fim, em x +2y + z = 4:
x + 2cdot 2 + (-2) = 4 Longrightarrow x +2 = 4 Longrightarrow x = 2

Resposta

(x,y,z) = (2,2,-2)

Exercícios relacionados