Determine quais das funções seguintes são uniformemente contínuas:
(3) f(x)=raizx em [0, infty)

Passo 1

O enunciado pede verificar se a função f(x)=raizx definida em [0,infty) é uniformemente contínua. Lembrando que f é uniformemente contínua em um conjunto D se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin D,
|x-y|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilon

Passo 2

Para relacionar |raizx-raizy| com |x-y|, note que, para x,y>=0,
|raizx-raizy| =|x-y|raizx+raizy <=|x-y|raiz|x-y| =raiz|x-y|,
já que, fixada d=|x-y|, o denominador raizx+raizy é mínimo quando um dos termos é zero, isto é, vale raizd.

Passo 3

Dado varepsilon>0, escolha
de<a=varepsilon^2
Então, se |x-y|<de<a,
|raizx-raizy|<=raiz|x-y|<raizde<a=varepsilon
Note que de<a depende apenas de varepsilon, não de x,y.

Passo 4

Como para todo varepsilon>0 encontramos um de<a (independente dos pontos) que garante |f(x)-f(y)|<varepsilon sempre que |x-y|<de<a, concluímos que f(x)=raizx é uniformemente contínua em [0,infty).

Resposta

A função f(x)=raizx é uniformemente contínua em [0,infty).

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